Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70666 / 95722
↖ ↑ ↗
← S 63.521624°
E 14.089966°		 ← 136.15 m → S 63.521624°
E 14.092712°		 →
↑
136.21 m
↓
↑
136.21 m
↓
S 63.522849°
E 14.089966°		 ← 136.14 m →
18 545 m²		 S 63.522849°
E 14.092712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539142608642578 y=0.730304718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539142608642578 × 217)
    floor (0.539142608642578 × 131072)
    floor (70666.5)     		tx = 70666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730304718017578 × 217)
    floor (0.730304718017578 × 131072)
    floor (95722.5)     		ty = 95722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70666 / 95722 ti = "17/70666/95722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70666/95722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70666 ÷ 217
    70666 ÷ 131072     		x = 0.539138793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95722 ÷ 217
    95722 ÷ 131072     		y = 0.730300903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539138793945312 × 2 - 1) × π
    0.078277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24591630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730300903320312 × 2 - 1) × π
    -0.460601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44702325193102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24591630} λ = 0.24591630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44702325193102))-π/2
    2×atan(0.235269585044972)-π/2
    2×0.231067421422846-π/2
    0.462134842845691-1.57079632675     		φ = -1.10866148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24591630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.089966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10866148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.521624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70666 KachelY 95722 0.24591630 -1.10866148 14.089966 -63.521624
    Oben rechts KachelX + 1 70667 KachelY 95722 0.24596423 -1.10866148 14.092712 -63.521624
    Unten links KachelX 70666 KachelY + 1 95723 0.24591630 -1.10868286 14.089966 -63.522849
    Unten rechts KachelX + 1 70667 KachelY + 1 95723 0.24596423 -1.10868286 14.092712 -63.522849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10866148--1.10868286) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dl = 136.211979999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10866148--1.10868286) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dr = 136.211979999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24591630-0.24596423) × cos(-1.10866148) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.445860028652777 × 6371000     		do = 136.148723445275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24591630-0.24596423) × cos(-1.10868286) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.445840891255254 × 6371000     		du = 136.142879610718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10866148)-sin(-1.10868286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445860028652777-0.445840891255254)×R²
    abs(0.24596423-0.24591630)×1.91373975229059e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91373975229059e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91373975229059e-05×40589641000000     		ar = 18544.6891955205m²