Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70666 / 103464
↖ ↑ ↗
← S 71.559692°
E 14.089966°		 ← 96.59 m → S 71.559692°
E 14.092712°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
S 71.560561°
E 14.089966°		 ← 96.59 m →
9 329 m²		 S 71.560561°
E 14.092712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539142608642578 y=0.789371490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539142608642578 × 217)
    floor (0.539142608642578 × 131072)
    floor (70666.5)     		tx = 70666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789371490478516 × 217)
    floor (0.789371490478516 × 131072)
    floor (103464.5)     		ty = 103464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70666 / 103464 ti = "17/70666/103464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70666/103464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70666 ÷ 217
    70666 ÷ 131072     		x = 0.539138793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103464 ÷ 217
    103464 ÷ 131072     		y = 0.78936767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539138793945312 × 2 - 1) × π
    0.078277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24591630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.5787353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81815072878949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24591630} λ = 0.24591630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81815072878949))-π/2
    2×atan(0.162325657709459)-π/2
    2×0.160922042846703-π/2
    0.321844085693406-1.57079632675     		φ = -1.24895224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24591630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.089966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24895224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.559692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70666 KachelY 103464 0.24591630 -1.24895224 14.089966 -71.559692
    Oben rechts KachelX + 1 70667 KachelY 103464 0.24596423 -1.24895224 14.092712 -71.559692
    Unten links KachelX 70666 KachelY + 1 103465 0.24591630 -1.24896740 14.089966 -71.560561
    Unten rechts KachelX + 1 70667 KachelY + 1 103465 0.24596423 -1.24896740 14.092712 -71.560561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24895224--1.24896740) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24895224--1.24896740) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24591630-0.24596423) × cos(-1.24895224) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.31631649725753 × 6371000     		do = 96.591047725052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24591630-0.24596423) × cos(-1.24896740) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.316302115630842 × 6371000     		du = 96.5866561223317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24895224)-sin(-1.24896740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31631649725753-0.316302115630842)×R²
    abs(0.24596423-0.24591630)×1.43816266883201e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43816266883201e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43816266883201e-05×40589641000000     		ar = 9328.97244640936m²