Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70665 / 95760
↖ ↑ ↗
← S 63.568120°
E 14.087219°		 ← 135.96 m → S 63.568120°
E 14.089966°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
S 63.569343°
E 14.087219°		 ← 135.95 m →
18 484 m²		 S 63.569343°
E 14.089966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539134979248047 y=0.730594635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539134979248047 × 217)
    floor (0.539134979248047 × 131072)
    floor (70665.5)     		tx = 70665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730594635009766 × 217)
    floor (0.730594635009766 × 131072)
    floor (95760.5)     		ty = 95760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70665 / 95760 ti = "17/70665/95760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70665/95760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70665 ÷ 217
    70665 ÷ 131072     		x = 0.539131164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95760 ÷ 217
    95760 ÷ 131072     		y = 0.7305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539131164550781 × 2 - 1) × π
    0.0782623291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24586836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7305908203125 × 2 - 1) × π
    -0.461181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44884485411658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24586836} λ = 0.24586836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44884485411658))-π/2
    2×atan(0.234841407557581)-π/2
    2×0.230661662558408-π/2
    0.461323325116816-1.57079632675     		φ = -1.10947300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24586836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.087219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10947300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.568120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70665 KachelY 95760 0.24586836 -1.10947300 14.087219 -63.568120
    Oben rechts KachelX + 1 70666 KachelY 95760 0.24591630 -1.10947300 14.089966 -63.568120
    Unten links KachelX 70665 KachelY + 1 95761 0.24586836 -1.10949434 14.087219 -63.569343
    Unten rechts KachelX + 1 70666 KachelY + 1 95761 0.24591630 -1.10949434 14.089966 -63.569343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10947300--1.10949434) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10947300--1.10949434) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24586836-0.24591630) × cos(-1.10947300) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.445133488179513 × 6371000     		do = 135.955225025999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24586836-0.24591630) × cos(-1.10949434) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.445114378871604 × 6371000     		du = 135.949388551489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10947300)-sin(-1.10949434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445133488179513-0.445114378871604)×R²
    abs(0.24591630-0.24586836)×1.91093079093263e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91093079093263e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91093079093263e-05×40589641000000     		ar = 18483.6868080736m²