Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70663 / 103473
↖ ↑ ↗
← S 71.567510°
E 14.081726°		 ← 96.57 m → S 71.567510°
E 14.084473°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
S 71.568378°
E 14.081726°		 ← 96.57 m →
9 327 m²		 S 71.568378°
E 14.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539119720458984 y=0.789440155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539119720458984 × 217)
    floor (0.539119720458984 × 131072)
    floor (70663.5)     		tx = 70663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789440155029297 × 217)
    floor (0.789440155029297 × 131072)
    floor (103473.5)     		ty = 103473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70663 / 103473 ti = "17/70663/103473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70663/103473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70663 ÷ 217
    70663 ÷ 131072     		x = 0.539115905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103473 ÷ 217
    103473 ÷ 131072     		y = 0.789436340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539115905761719 × 2 - 1) × π
    0.0782318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24577248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.789436340332031 × 2 - 1) × π
    -0.578872680664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.81858216088607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24577248} λ = 0.24577248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81858216088607))-π/2
    2×atan(0.162255640315586)-π/2
    2×0.160853822263944-π/2
    0.321707644527887-1.57079632675     		φ = -1.24908868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24577248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.081726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24908868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.567510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70663 KachelY 103473 0.24577248 -1.24908868 14.081726 -71.567510
    Oben rechts KachelX + 1 70664 KachelY 103473 0.24582042 -1.24908868 14.084473 -71.567510
    Unten links KachelX 70663 KachelY + 1 103474 0.24577248 -1.24910384 14.081726 -71.568378
    Unten rechts KachelX + 1 70664 KachelY + 1 103474 0.24582042 -1.24910384 14.084473 -71.568378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24908868--1.24910384) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24908868--1.24910384) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24577248-0.24582042) × cos(-1.24908868) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.316187060000617 × 6371000     		do = 96.5716667791615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24577248-0.24582042) × cos(-1.24910384) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.316172677719799 × 6371000     		du = 96.5672740603997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24908868)-sin(-1.24910384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316187060000617-0.316172677719799)×R²
    abs(0.24582042-0.24577248)×1.43822808181815e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.43822808181815e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.43822808181815e-05×40589641000000     		ar = 9327.1004962295m²