Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70662 / 103474
↖ ↑ ↗
← S 71.568378°
E 14.078980°		 ← 96.55 m → S 71.568378°
E 14.081726°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
S 71.569246°
E 14.078980°		 ← 96.54 m →
9 319 m²		 S 71.569246°
E 14.081726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539112091064453 y=0.789447784423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539112091064453 × 217)
    floor (0.539112091064453 × 131072)
    floor (70662.5)     		tx = 70662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789447784423828 × 217)
    floor (0.789447784423828 × 131072)
    floor (103474.5)     		ty = 103474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70662 / 103474 ti = "17/70662/103474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70662/103474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70662 ÷ 217
    70662 ÷ 131072     		x = 0.539108276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103474 ÷ 217
    103474 ÷ 131072     		y = 0.789443969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539108276367188 × 2 - 1) × π
    0.078216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24572455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.789443969726562 × 2 - 1) × π
    -0.578887939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81863009778569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24572455} λ = 0.24572455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81863009778569))-π/2
    2×atan(0.162247862469667)-π/2
    2×0.160846243922641-π/2
    0.321692487845282-1.57079632675     		φ = -1.24910384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24572455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.078980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24910384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.568378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70662 KachelY 103474 0.24572455 -1.24910384 14.078980 -71.568378
    Oben rechts KachelX + 1 70663 KachelY 103474 0.24577248 -1.24910384 14.081726 -71.568378
    Unten links KachelX 70662 KachelY + 1 103475 0.24572455 -1.24911899 14.078980 -71.569246
    Unten rechts KachelX + 1 70663 KachelY + 1 103475 0.24577248 -1.24911899 14.081726 -71.569246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24910384--1.24911899) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dl = 96.5206499990621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24910384--1.24911899) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dr = 96.5206499990621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24572455-0.24577248) × cos(-1.24910384) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.316172677719799 × 6371000     		do = 96.5471306990009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24572455-0.24577248) × cos(-1.24911899) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.316158304853381 × 6371000     		du = 96.5427417713346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24910384)-sin(-1.24911899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316172677719799-0.316158304853381)×R²
    abs(0.24577248-0.24572455)×1.43728664181442e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.43728664181442e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.43728664181442e-05×40589641000000     		ar = 9318.57999962811m²