Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70658 / 103459
↖ ↑ ↗
← S 71.555348°
E 14.067993°		 ← 96.63 m → S 71.555348°
E 14.070740°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
S 71.556217°
E 14.067993°		 ← 96.63 m →
9 333 m²		 S 71.556217°
E 14.070740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539081573486328 y=0.789333343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539081573486328 × 217)
    floor (0.539081573486328 × 131072)
    floor (70658.5)     		tx = 70658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789333343505859 × 217)
    floor (0.789333343505859 × 131072)
    floor (103459.5)     		ty = 103459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70658 / 103459 ti = "17/70658/103459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70658/103459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70658 ÷ 217
    70658 ÷ 131072     		x = 0.539077758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103459 ÷ 217
    103459 ÷ 131072     		y = 0.789329528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539077758789062 × 2 - 1) × π
    0.078155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24553280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.789329528808594 × 2 - 1) × π
    -0.578659057617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.81791104429139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24553280} λ = 0.24553280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81791104429139))-π/2
    2×atan(0.162364569316324)-π/2
    2×0.160959955237035-π/2
    0.32191991047407-1.57079632675     		φ = -1.24887642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24553280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.067993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24887642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.555348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70658 KachelY 103459 0.24553280 -1.24887642 14.067993 -71.555348
    Oben rechts KachelX + 1 70659 KachelY 103459 0.24558074 -1.24887642 14.070740 -71.555348
    Unten links KachelX 70658 KachelY + 1 103460 0.24553280 -1.24889158 14.067993 -71.556217
    Unten rechts KachelX + 1 70659 KachelY + 1 103460 0.24558074 -1.24889158 14.070740 -71.556217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24887642--1.24889158) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24887642--1.24889158) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24553280-0.24558074) × cos(-1.24887642) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316388423273035 × 6371000     		do = 96.6331683055927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24553280-0.24558074) × cos(-1.24889158) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316374042009964 × 6371000     		du = 96.628775897677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24887642)-sin(-1.24889158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316388423273035-0.316374042009964)×R²
    abs(0.24558074-0.24553280)×1.43812630711282e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43812630711282e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43812630711282e-05×40589641000000     		ar = 9333.04059696071m²