Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70655 / 95708
↖ ↑ ↗
← S 63.504475°
E 14.059753°		 ← 136.26 m → S 63.504475°
E 14.062500°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
S 63.505700°
E 14.059753°		 ← 136.25 m →
18 568 m²		 S 63.505700°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539058685302734 y=0.730197906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539058685302734 × 217)
    floor (0.539058685302734 × 131072)
    floor (70655.5)     		tx = 70655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730197906494141 × 217)
    floor (0.730197906494141 × 131072)
    floor (95708.5)     		ty = 95708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70655 / 95708 ti = "17/70655/95708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70655/95708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70655 ÷ 217
    70655 ÷ 131072     		x = 0.539054870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95708 ÷ 217
    95708 ÷ 131072     		y = 0.730194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539054870605469 × 2 - 1) × π
    0.0781097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24538899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730194091796875 × 2 - 1) × π
    -0.46038818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44635213533633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24538899} λ = 0.24538899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44635213533633))-π/2
    2×atan(0.235427531361989)-π/2
    2×0.231217078397832-π/2
    0.462434156795664-1.57079632675     		φ = -1.10836217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24538899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.059753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10836217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.504475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70655 KachelY 95708 0.24538899 -1.10836217 14.059753 -63.504475
    Oben rechts KachelX + 1 70656 KachelY 95708 0.24543693 -1.10836217 14.062500 -63.504475
    Unten links KachelX 70655 KachelY + 1 95709 0.24538899 -1.10838356 14.059753 -63.505700
    Unten rechts KachelX + 1 70656 KachelY + 1 95709 0.24543693 -1.10838356 14.062500 -63.505700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10836217--1.10838356) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dl = 136.275690000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10836217--1.10838356) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dr = 136.275690000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24538899-0.24543693) × cos(-1.10836217) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.446127921864945 × 6371000     		do = 136.258950670253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24538899-0.24543693) × cos(-1.10838356) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.4461087783716 × 6371000     		du = 136.253103754631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10836217)-sin(-1.10838356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446127921864945-0.4461087783716)×R²
    abs(0.24543693-0.24538899)×1.91434933457524e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91434933457524e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91434933457524e-05×40589641000000     		ar = 18568.3841257859m²