Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70653 / 95734
↖ ↑ ↗
← S 63.536315°
E 14.054261°		 ← 136.08 m → S 63.536315°
E 14.057007°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
S 63.537539°
E 14.054261°		 ← 136.07 m →
18 518 m²		 S 63.537539°
E 14.057007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539043426513672 y=0.730396270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539043426513672 × 217)
    floor (0.539043426513672 × 131072)
    floor (70653.5)     		tx = 70653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730396270751953 × 217)
    floor (0.730396270751953 × 131072)
    floor (95734.5)     		ty = 95734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70653 / 95734 ti = "17/70653/95734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70653/95734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70653 ÷ 217
    70653 ÷ 131072     		x = 0.539039611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95734 ÷ 217
    95734 ÷ 131072     		y = 0.730392456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539039611816406 × 2 - 1) × π
    0.0780792236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24529312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730392456054688 × 2 - 1) × π
    -0.460784912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44759849472646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24529312} λ = 0.24529312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44759849472646))-π/2
    2×atan(0.235134286829582)-π/2
    2×0.230939215550162-π/2
    0.461878431100324-1.57079632675     		φ = -1.10891790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24529312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.054261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10891790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.536315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70653 KachelY 95734 0.24529312 -1.10891790 14.054261 -63.536315
    Oben rechts KachelX + 1 70654 KachelY 95734 0.24534105 -1.10891790 14.057007 -63.536315
    Unten links KachelX 70653 KachelY + 1 95735 0.24529312 -1.10893926 14.054261 -63.537539
    Unten rechts KachelX + 1 70654 KachelY + 1 95735 0.24534105 -1.10893926 14.057007 -63.537539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10891790--1.10893926) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dl = 136.084560000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10891790--1.10893926) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dr = 136.084560000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24529312-0.24534105) × cos(-1.10891790) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.445630491764284 × 6371000     		do = 136.078631595045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24529312-0.24534105) × cos(-1.10893926) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.445611369827653 × 6371000     		du = 136.072792481657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10891790)-sin(-1.10893926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445630491764284-0.445611369827653)×R²
    abs(0.24534105-0.24529312)×1.91219366315054e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91219366315054e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91219366315054e-05×40589641000000     		ar = 18517.8034003576m²