Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70652 / 95740
↖ ↑ ↗
← S 63.543658°
E 14.051514°		 ← 136.07 m → S 63.543658°
E 14.054261°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
S 63.544882°
E 14.051514°		 ← 136.07 m →
18 517 m²		 S 63.544882°
E 14.054261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539035797119141 y=0.730442047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539035797119141 × 217)
    floor (0.539035797119141 × 131072)
    floor (70652.5)     		tx = 70652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730442047119141 × 217)
    floor (0.730442047119141 × 131072)
    floor (95740.5)     		ty = 95740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70652 / 95740 ti = "17/70652/95740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70652/95740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70652 ÷ 217
    70652 ÷ 131072     		x = 0.539031982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95740 ÷ 217
    95740 ÷ 131072     		y = 0.730438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539031982421875 × 2 - 1) × π
    0.07806396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24524518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.46087646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44788611612418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24524518} λ = 0.24524518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44788611612418))-π/2
    2×atan(0.235066666902287)-π/2
    2×0.230875137367222-π/2
    0.461750274734445-1.57079632675     		φ = -1.10904605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24524518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10904605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.543658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70652 KachelY 95740 0.24524518 -1.10904605 14.051514 -63.543658
    Oben rechts KachelX + 1 70653 KachelY 95740 0.24529312 -1.10904605 14.054261 -63.543658
    Unten links KachelX 70652 KachelY + 1 95741 0.24524518 -1.10906741 14.051514 -63.544882
    Unten rechts KachelX + 1 70653 KachelY + 1 95741 0.24529312 -1.10906741 14.054261 -63.544882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10904605--1.10906741) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dl = 136.084560000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10904605--1.10906741) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dr = 136.084560000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24524518-0.24529312) × cos(-1.10904605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.445515766047761 × 6371000     		do = 136.071982526794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24524518-0.24529312) × cos(-1.10906741) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.445496642891496 × 6371000     		du = 136.06614182264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10904605)-sin(-1.10906741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445515766047761-0.445496642891496)×R²
    abs(0.24529312-0.24524518)×1.91231562655658e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91231562655658e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91231562655658e-05×40589641000000     		ar = 18516.8984564054m²