Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7065 / 5589
↖ ↑ ↗
← N 49.539469°
W 24.763184°		 ← 1 585.50 m → N 49.539469°
W 24.741211°		 →
↑
1 585.68 m
↓
↑
1 585.68 m
↓
N 49.525208°
W 24.763184°		 ← 1 585.96 m →
2 514 463 m²		 N 49.525208°
W 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431243896484375 y=0.341156005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431243896484375 × 214)
    floor (0.431243896484375 × 16384)
    floor (7065.5)     		tx = 7065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341156005859375 × 214)
    floor (0.341156005859375 × 16384)
    floor (5589.5)     		ty = 5589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7065 / 5589 ti = "14/7065/5589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7065/5589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7065 ÷ 214
    7065 ÷ 16384     		x = 0.43121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5589 ÷ 214
    5589 ÷ 16384     		y = 0.34112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.1375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43219909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34112548828125 × 2 - 1) × π
    0.3177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.998237997688049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43219909} λ = -0.43219909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.998237997688049))-π/2
    2×atan(2.71349642677527)-π/2
    2×1.21771158532727-π/2
    2.43542317065454-1.57079632675     		φ = 0.86462684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43219909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.763184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86462684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.539469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7065 KachelY 5589 -0.43219909 0.86462684 -24.763184 49.539469
    Oben rechts KachelX + 1 7066 KachelY 5589 -0.43181559 0.86462684 -24.741211 49.539469
    Unten links KachelX 7065 KachelY + 1 5590 -0.43219909 0.86437795 -24.763184 49.525208
    Unten rechts KachelX + 1 7066 KachelY + 1 5590 -0.43181559 0.86437795 -24.741211 49.525208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86462684-0.86437795) × R
    0.000248890000000057 × 6371000     		dl = 1585.67819000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86462684-0.86437795) × R
    0.000248890000000057 × 6371000     		dr = 1585.67819000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43219909--0.43181559) × cos(0.86462684) × R
    0.000383499999999981 × 0.648924080827522 × 6371000     		do = 1585.50225481807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43219909--0.43181559) × cos(0.86437795) × R
    0.000383499999999981 × 0.64911342947038 × 6371000     		du = 1585.96488628617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86462684)-sin(0.86437795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648924080827522-0.64911342947038)×R²
    abs(-0.43181559--0.43219909)×0.000189348642857134×R²
    0.000383499999999981×0.000189348642857134×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189348642857134×40589641000000     		ar = 2514463.15095625m²