Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70643 / 95771
↖ ↑ ↗
← S 63.581566°
E 14.026795°		 ← 135.86 m → S 63.581566°
E 14.029541°		 →
↑
135.89 m
↓
↑
135.89 m
↓
S 63.582788°
E 14.026795°		 ← 135.86 m →
18 462 m²		 S 63.582788°
E 14.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538967132568359 y=0.730678558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538967132568359 × 217)
    floor (0.538967132568359 × 131072)
    floor (70643.5)     		tx = 70643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730678558349609 × 217)
    floor (0.730678558349609 × 131072)
    floor (95771.5)     		ty = 95771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70643 / 95771 ti = "17/70643/95771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70643/95771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70643 ÷ 217
    70643 ÷ 131072     		x = 0.538963317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95771 ÷ 217
    95771 ÷ 131072     		y = 0.730674743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538963317871094 × 2 - 1) × π
    0.0779266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24481375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730674743652344 × 2 - 1) × π
    -0.461349487304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.4493721600124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24481375} λ = 0.24481375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4493721600124))-π/2
    2×atan(0.234717606942059)-π/2
    2×0.230544329507059-π/2
    0.461088659014117-1.57079632675     		φ = -1.10970767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24481375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.026795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10970767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.581566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70643 KachelY 95771 0.24481375 -1.10970767 14.026795 -63.581566
    Oben rechts KachelX + 1 70644 KachelY 95771 0.24486168 -1.10970767 14.029541 -63.581566
    Unten links KachelX 70643 KachelY + 1 95772 0.24481375 -1.10972900 14.026795 -63.582788
    Unten rechts KachelX + 1 70644 KachelY + 1 95772 0.24486168 -1.10972900 14.029541 -63.582788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10970767--1.10972900) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dl = 135.893430000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10970767--1.10972900) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dr = 135.893430000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24481375-0.24486168) × cos(-1.10970767) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.444923337335081 × 6371000     		do = 135.86269348302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24481375-0.24486168) × cos(-1.10972900) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.444904234754362 × 6371000     		du = 135.856860280193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10970767)-sin(-1.10972900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444923337335081-0.444904234754362)×R²
    abs(0.24486168-0.24481375)×1.9102580719077e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.9102580719077e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.9102580719077e-05×40589641000000     		ar = 18462.4510801037m²