Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70643 / 95766
↖ ↑ ↗
← S 63.575455°
E 14.026795°		 ← 135.89 m → S 63.575455°
E 14.029541°		 →
↑
135.89 m
↓
↑
135.89 m
↓
S 63.576678°
E 14.026795°		 ← 135.89 m →
18 466 m²		 S 63.576678°
E 14.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538967132568359 y=0.730640411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538967132568359 × 217)
    floor (0.538967132568359 × 131072)
    floor (70643.5)     		tx = 70643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730640411376953 × 217)
    floor (0.730640411376953 × 131072)
    floor (95766.5)     		ty = 95766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70643 / 95766 ti = "17/70643/95766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70643/95766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70643 ÷ 217
    70643 ÷ 131072     		x = 0.538963317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95766 ÷ 217
    95766 ÷ 131072     		y = 0.730636596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538963317871094 × 2 - 1) × π
    0.0779266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24481375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730636596679688 × 2 - 1) × π
    -0.461273193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4491324755143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24481375} λ = 0.24481375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4491324755143))-π/2
    2×atan(0.234773871856519)-π/2
    2×0.230597655843746-π/2
    0.461195311687492-1.57079632675     		φ = -1.10960102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24481375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.026795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10960102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.575455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70643 KachelY 95766 0.24481375 -1.10960102 14.026795 -63.575455
    Oben rechts KachelX + 1 70644 KachelY 95766 0.24486168 -1.10960102 14.029541 -63.575455
    Unten links KachelX 70643 KachelY + 1 95767 0.24481375 -1.10962235 14.026795 -63.576678
    Unten rechts KachelX + 1 70644 KachelY + 1 95767 0.24486168 -1.10962235 14.029541 -63.576678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10960102--1.10962235) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dl = 135.893430000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10960102--1.10962235) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dr = 135.893430000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24481375-0.24486168) × cos(-1.10960102) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.445018847202108 × 6371000     		do = 135.8918585699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24481375-0.24486168) × cos(-1.10962235) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.444999745633607 × 6371000     		du = 135.886025676166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10960102)-sin(-1.10962235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445018847202108-0.444999745633607)×R²
    abs(0.24486168-0.24481375)×1.91015685007678e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91015685007678e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91015685007678e-05×40589641000000     		ar = 18466.4144448166m²