Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70642 / 95764
↖ ↑ ↗
← S 63.573011°
E 14.024048°		 ← 135.93 m → S 63.573011°
E 14.026795°		 →
↑
135.89 m
↓
↑
135.89 m
↓
S 63.574233°
E 14.024048°		 ← 135.93 m →
18 472 m²		 S 63.574233°
E 14.026795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538959503173828 y=0.730625152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538959503173828 × 217)
    floor (0.538959503173828 × 131072)
    floor (70642.5)     		tx = 70642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730625152587891 × 217)
    floor (0.730625152587891 × 131072)
    floor (95764.5)     		ty = 95764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70642 / 95764 ti = "17/70642/95764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70642/95764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70642 ÷ 217
    70642 ÷ 131072     		x = 0.538955688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95764 ÷ 217
    95764 ÷ 131072     		y = 0.730621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538955688476562 × 2 - 1) × π
    0.077911376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24476581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730621337890625 × 2 - 1) × π
    -0.46124267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44903660171506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24476581} λ = 0.24476581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44903660171506))-π/2
    2×atan(0.234796381598606)-π/2
    2×0.230618989583569-π/2
    0.461237979167139-1.57079632675     		φ = -1.10955835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24476581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.024048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10955835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.573011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70642 KachelY 95764 0.24476581 -1.10955835 14.024048 -63.573011
    Oben rechts KachelX + 1 70643 KachelY 95764 0.24481375 -1.10955835 14.026795 -63.573011
    Unten links KachelX 70642 KachelY + 1 95765 0.24476581 -1.10957968 14.024048 -63.574233
    Unten rechts KachelX + 1 70643 KachelY + 1 95765 0.24481375 -1.10957968 14.026795 -63.574233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10955835--1.10957968) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dl = 135.893430000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10955835--1.10957968) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dr = 135.893430000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24476581-0.24481375) × cos(-1.10955835) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.445057058686714 × 6371000     		do = 135.931881491603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24476581-0.24481375) × cos(-1.10957968) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.445037957523256 × 6371000     		du = 135.926047504619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10955835)-sin(-1.10957968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445057058686714-0.445037957523256)×R²
    abs(0.24481375-0.24476581)×1.91011634576022e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91011634576022e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91011634576022e-05×40589641000000     		ar = 18471.8532225632m²