Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70641 / 95772
↖ ↑ ↗
← S 63.582788°
E 14.021301°		 ← 135.89 m → S 63.582788°
E 14.024048°		 →
↑
135.83 m
↓
↑
135.83 m
↓
S 63.584010°
E 14.021301°		 ← 135.88 m →
18 457 m²		 S 63.584010°
E 14.024048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538951873779297 y=0.730686187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538951873779297 × 217)
    floor (0.538951873779297 × 131072)
    floor (70641.5)     		tx = 70641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730686187744141 × 217)
    floor (0.730686187744141 × 131072)
    floor (95772.5)     		ty = 95772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70641 / 95772 ti = "17/70641/95772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70641/95772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70641 ÷ 217
    70641 ÷ 131072     		x = 0.538948059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95772 ÷ 217
    95772 ÷ 131072     		y = 0.730682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538948059082031 × 2 - 1) × π
    0.0778961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24471787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730682373046875 × 2 - 1) × π
    -0.46136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44942009691202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24471787} λ = 0.24471787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44942009691202))-π/2
    2×atan(0.234706355577376)-π/2
    2×0.230533665613238-π/2
    0.461067331226476-1.57079632675     		φ = -1.10972900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24471787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.021301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10972900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.582788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70641 KachelY 95772 0.24471787 -1.10972900 14.021301 -63.582788
    Oben rechts KachelX + 1 70642 KachelY 95772 0.24476581 -1.10972900 14.024048 -63.582788
    Unten links KachelX 70641 KachelY + 1 95773 0.24471787 -1.10975032 14.021301 -63.584010
    Unten rechts KachelX + 1 70642 KachelY + 1 95773 0.24476581 -1.10975032 14.024048 -63.584010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10972900--1.10975032) × R
    2.13200000001024e-05 × 6371000     		dl = 135.829720000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10972900--1.10975032) × R
    2.13200000001024e-05 × 6371000     		dr = 135.829720000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24471787-0.24476581) × cos(-1.10972900) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.444904234754362 × 6371000     		do = 135.885205128974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24471787-0.24476581) × cos(-1.10975032) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.444885140927102 × 6371000     		du = 135.879373382654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10972900)-sin(-1.10975032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444904234754362-0.444885140927102)×R²
    abs(0.24476581-0.24471787)×1.90938272602859e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90938272602859e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90938272602859e-05×40589641000000     		ar = 18456.8533034091m²