Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70641 / 95376
↖ ↑ ↗
← S 63.094759°
E 14.021301°		 ← 138.21 m → S 63.094759°
E 14.024048°		 →
↑
138.19 m
↓
↑
138.19 m
↓
S 63.096001°
E 14.021301°		 ← 138.20 m →
19 098 m²		 S 63.096001°
E 14.024048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538951873779297 y=0.727664947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538951873779297 × 217)
    floor (0.538951873779297 × 131072)
    floor (70641.5)     		tx = 70641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727664947509766 × 217)
    floor (0.727664947509766 × 131072)
    floor (95376.5)     		ty = 95376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70641 / 95376 ti = "17/70641/95376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70641/95376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70641 ÷ 217
    70641 ÷ 131072     		x = 0.538948059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95376 ÷ 217
    95376 ÷ 131072     		y = 0.7276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538948059082031 × 2 - 1) × π
    0.0778961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24471787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43043708466248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24471787} λ = 0.24471787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43043708466248))-π/2
    2×atan(0.239204346840066)-π/2
    2×0.234792525448368-π/2
    0.469585050896737-1.57079632675     		φ = -1.10121128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24471787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.021301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10121128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.094759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70641 KachelY 95376 0.24471787 -1.10121128 14.021301 -63.094759
    Oben rechts KachelX + 1 70642 KachelY 95376 0.24476581 -1.10121128 14.024048 -63.094759
    Unten links KachelX 70641 KachelY + 1 95377 0.24471787 -1.10123297 14.021301 -63.096001
    Unten rechts KachelX + 1 70642 KachelY + 1 95377 0.24476581 -1.10123297 14.024048 -63.096001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10121128--1.10123297) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dl = 138.186990000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10121128--1.10123297) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dr = 138.186990000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24471787-0.24476581) × cos(-1.10121128) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452516287280555 × 6371000     		do = 138.210121904705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24471787-0.24476581) × cos(-1.10123297) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452496944983478 × 6371000     		du = 138.204214269307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10121128)-sin(-1.10123297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452516287280555-0.452496944983478)×R²
    abs(0.24476581-0.24471787)×1.93422970773405e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93422970773405e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93422970773405e-05×40589641000000     		ar = 19098.4325552878m²