Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70640 / 95791
↖ ↑ ↗
← S 63.605996°
E 14.018555°		 ← 135.75 m → S 63.605996°
E 14.021301°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
S 63.607217°
E 14.018555°		 ← 135.74 m →
18 429 m²		 S 63.607217°
E 14.021301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538944244384766 y=0.730831146240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538944244384766 × 217)
    floor (0.538944244384766 × 131072)
    floor (70640.5)     		tx = 70640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730831146240234 × 217)
    floor (0.730831146240234 × 131072)
    floor (95791.5)     		ty = 95791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70640 / 95791 ti = "17/70640/95791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70640/95791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70640 ÷ 217
    70640 ÷ 131072     		x = 0.5389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95791 ÷ 217
    95791 ÷ 131072     		y = 0.730827331542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5389404296875 × 2 - 1) × π
    0.077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24466994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730827331542969 × 2 - 1) × π
    -0.461654663085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.4503308980048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24466994} λ = 0.24466994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4503308980048))-π/2
    2×atan(0.234492682094026)-π/2
    2×0.230331138596594-π/2
    0.460662277193188-1.57079632675     		φ = -1.11013405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24466994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11013405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.605996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70640 KachelY 95791 0.24466994 -1.11013405 14.018555 -63.605996
    Oben rechts KachelX + 1 70641 KachelY 95791 0.24471787 -1.11013405 14.021301 -63.605996
    Unten links KachelX 70640 KachelY + 1 95792 0.24466994 -1.11015536 14.018555 -63.607217
    Unten rechts KachelX + 1 70641 KachelY + 1 95792 0.24471787 -1.11015536 14.021301 -63.607217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11013405--1.11015536) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dl = 135.766009999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11013405--1.11015536) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dr = 135.766009999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24466994-0.24471787) × cos(-1.11013405) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.4445414443381 × 6371000     		do = 135.746077862219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24466994-0.24471787) × cos(-1.11015536) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.444522355628122 × 6371000     		du = 135.74024889499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11013405)-sin(-1.11015536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4445414443381-0.444522355628122)×R²
    abs(0.24471787-0.24466994)×1.90887099780768e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.90887099780768e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.90887099780768e-05×40589641000000     		ar = 18429.3076772486m²