Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7064 / 10912
↖ ↑ ↗
← S 51.179343°
W 24.785156°		 ← 1 531.61 m → S 51.179343°
W 24.763184°		 →
↑
1 531.46 m
↓
↑
1 531.46 m
↓
S 51.193116°
W 24.785156°		 ← 1 531.16 m →
2 345 257 m²		 S 51.193116°
W 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431182861328125 y=0.666046142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431182861328125 × 214)
    floor (0.431182861328125 × 16384)
    floor (7064.5)     		tx = 7064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666046142578125 × 214)
    floor (0.666046142578125 × 16384)
    floor (10912.5)     		ty = 10912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7064 / 10912 ti = "14/7064/10912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7064/10912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7064 ÷ 214
    7064 ÷ 16384     		x = 0.43115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10912 ÷ 214
    10912 ÷ 16384     		y = 0.666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666015625 × 2 - 1) × π
    -0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43258258} λ = -0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04310693573242))-π/2
    2×atan(0.352358225170011)-π/2
    2×0.338774141408772-π/2
    0.677548282817545-1.57079632675     		φ = -0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7064 KachelY 10912 -0.43258258 -0.89324804 -24.785156 -51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 7065 KachelY 10912 -0.43219909 -0.89324804 -24.763184 -51.179343
    Unten links KachelX 7064 KachelY + 1 10913 -0.43258258 -0.89348842 -24.785156 -51.193116
    Unten rechts KachelX + 1 7065 KachelY + 1 10913 -0.43219909 -0.89348842 -24.763184 -51.193116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89324804--0.89348842) × R
    0.000240379999999929 × 6371000     		dl = 1531.46097999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89324804--0.89348842) × R
    0.000240379999999929 × 6371000     		dr = 1531.46097999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43258258--0.43219909) × cos(-0.89324804) × R
    0.000383489999999986 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 1531.61409483255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43258258--0.43219909) × cos(-0.89348842) × R
    0.000383489999999986 × 0.626697449769167 × 6371000     		du = 1531.15647813126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89324804)-sin(-0.89348842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.626697449769167)×R²
    abs(-0.43219909--0.43258258)×0.000187301052353539×R²
    0.000383489999999986×0.000187301052353539×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187301052353539×40589641000000     		ar = 2345256.82288657m²