Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70639 / 95377
↖ ↑ ↗
← S 63.096001°
E 14.015808°		 ← 138.20 m → S 63.096001°
E 14.018555°		 →
↑
138.19 m
↓
↑
138.19 m
↓
S 63.097244°
E 14.015808°		 ← 138.20 m →
19 098 m²		 S 63.097244°
E 14.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538936614990234 y=0.727672576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538936614990234 × 217)
    floor (0.538936614990234 × 131072)
    floor (70639.5)     		tx = 70639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727672576904297 × 217)
    floor (0.727672576904297 × 131072)
    floor (95377.5)     		ty = 95377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70639 / 95377 ti = "17/70639/95377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70639/95377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70639 ÷ 217
    70639 ÷ 131072     		x = 0.538932800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95377 ÷ 217
    95377 ÷ 131072     		y = 0.727668762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538932800292969 × 2 - 1) × π
    0.0778656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24462200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727668762207031 × 2 - 1) × π
    -0.455337524414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.4304850215621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24462200} λ = 0.24462200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4304850215621))-π/2
    2×atan(0.239192880400137)-π/2
    2×0.234781679566183-π/2
    0.469563359132367-1.57079632675     		φ = -1.10123297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24462200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.015808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10123297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.096001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70639 KachelY 95377 0.24462200 -1.10123297 14.015808 -63.096001
    Oben rechts KachelX + 1 70640 KachelY 95377 0.24466994 -1.10123297 14.018555 -63.096001
    Unten links KachelX 70639 KachelY + 1 95378 0.24462200 -1.10125466 14.015808 -63.097244
    Unten rechts KachelX + 1 70640 KachelY + 1 95378 0.24466994 -1.10125466 14.018555 -63.097244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10123297--1.10125466) × R
    2.16899999998521e-05 × 6371000     		dl = 138.186989999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10123297--1.10125466) × R
    2.16899999998521e-05 × 6371000     		dr = 138.186989999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24462200-0.24466994) × cos(-1.10123297) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452496944983478 × 6371000     		do = 138.204214269307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24462200-0.24466994) × cos(-1.10125466) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.45247760247352 × 6371000     		du = 138.19830656889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10123297)-sin(-1.10125466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452496944983478-0.45247760247352)×R²
    abs(0.24466994-0.24462200)×1.93425099570543e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93425099570543e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93425099570543e-05×40589641000000     		ar = 19097.6161919972m²