Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70638 / 95410
↖ ↑ ↗
← S 63.136986°
E 14.013061°		 ← 138.01 m → S 63.136986°
E 14.015808°		 →
↑
138 m
↓
↑
138 m
↓
S 63.138227°
E 14.013061°		 ← 138 m →
19 044 m²		 S 63.138227°
E 14.015808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538928985595703 y=0.727924346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538928985595703 × 217)
    floor (0.538928985595703 × 131072)
    floor (70638.5)     		tx = 70638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727924346923828 × 217)
    floor (0.727924346923828 × 131072)
    floor (95410.5)     		ty = 95410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70638 / 95410 ti = "17/70638/95410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70638/95410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70638 ÷ 217
    70638 ÷ 131072     		x = 0.538925170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95410 ÷ 217
    95410 ÷ 131072     		y = 0.727920532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538925170898438 × 2 - 1) × π
    0.077850341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24457406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727920532226562 × 2 - 1) × π
    -0.455841064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43206693924956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24457406} λ = 0.24457406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43206693924956))-π/2
    2×atan(0.238814796079899)-π/2
    2×0.234424025465363-π/2
    0.468848050930727-1.57079632675     		φ = -1.10194828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24457406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.013061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10194828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.136986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70638 KachelY 95410 0.24457406 -1.10194828 14.013061 -63.136986
    Oben rechts KachelX + 1 70639 KachelY 95410 0.24462200 -1.10194828 14.015808 -63.136986
    Unten links KachelX 70638 KachelY + 1 95411 0.24457406 -1.10196994 14.013061 -63.138227
    Unten rechts KachelX + 1 70639 KachelY + 1 95411 0.24462200 -1.10196994 14.015808 -63.138227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10194828--1.10196994) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dl = 137.995860000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10194828--1.10196994) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dr = 137.995860000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24457406-0.24462200) × cos(-1.10194828) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451858940169907 × 6371000     		do = 138.009351176999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24457406-0.24462200) × cos(-1.10196994) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451839617407501 × 6371000     		du = 138.003449507992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10194828)-sin(-1.10196994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451858940169907-0.451839617407501)×R²
    abs(0.24462200-0.24457406)×1.9322762405849e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9322762405849e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9322762405849e-05×40589641000000     		ar = 19044.3119016518m²