Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70637 / 95401
↖ ↑ ↗
← S 63.125814°
E 14.010315°		 ← 138.06 m → S 63.125814°
E 14.013061°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
S 63.127055°
E 14.010315°		 ← 138.06 m →
19 060 m²		 S 63.127055°
E 14.013061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538921356201172 y=0.727855682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538921356201172 × 217)
    floor (0.538921356201172 × 131072)
    floor (70637.5)     		tx = 70637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727855682373047 × 217)
    floor (0.727855682373047 × 131072)
    floor (95401.5)     		ty = 95401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70637 / 95401 ti = "17/70637/95401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70637/95401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70637 ÷ 217
    70637 ÷ 131072     		x = 0.538917541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95401 ÷ 217
    95401 ÷ 131072     		y = 0.727851867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538917541503906 × 2 - 1) × π
    0.0778350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24452612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727851867675781 × 2 - 1) × π
    -0.455703735351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.43163550715298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24452612} λ = 0.24452612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43163550715298))-π/2
    2×atan(0.238917850676999)-π/2
    2×0.234521517450459-π/2
    0.469043034900918-1.57079632675     		φ = -1.10175329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24452612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.010315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10175329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.125814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70637 KachelY 95401 0.24452612 -1.10175329 14.010315 -63.125814
    Oben rechts KachelX + 1 70638 KachelY 95401 0.24457406 -1.10175329 14.013061 -63.125814
    Unten links KachelX 70637 KachelY + 1 95402 0.24452612 -1.10177496 14.010315 -63.127055
    Unten rechts KachelX + 1 70638 KachelY + 1 95402 0.24457406 -1.10177496 14.013061 -63.127055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10175329--1.10177496) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dl = 138.059569999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10175329--1.10177496) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dr = 138.059569999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24452612-0.24457406) × cos(-1.10175329) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452032880090889 × 6371000     		do = 138.06247690608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24452612-0.24457406) × cos(-1.10177496) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452013550317118 × 6371000     		du = 138.056573095622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10175329)-sin(-1.10177496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452032880090889-0.452013550317118)×R²
    abs(0.24457406-0.24452612)×1.93297737712261e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93297737712261e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93297737712261e-05×40589641000000     		ar = 19060.4386568215m²