Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70634 / 95405
↖ ↑ ↗
← S 63.130779°
E 14.002075°		 ← 138.04 m → S 63.130779°
E 14.004822°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
S 63.132021°
E 14.002075°		 ← 138.03 m →
19 057 m²		 S 63.132021°
E 14.004822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538898468017578 y=0.727886199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538898468017578 × 217)
    floor (0.538898468017578 × 131072)
    floor (70634.5)     		tx = 70634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727886199951172 × 217)
    floor (0.727886199951172 × 131072)
    floor (95405.5)     		ty = 95405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70634 / 95405 ti = "17/70634/95405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70634/95405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70634 ÷ 217
    70634 ÷ 131072     		x = 0.538894653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95405 ÷ 217
    95405 ÷ 131072     		y = 0.727882385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538894653320312 × 2 - 1) × π
    0.077789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24438231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727882385253906 × 2 - 1) × π
    -0.455764770507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.43182725475146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24438231} λ = 0.24438231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43182725475146))-π/2
    2×atan(0.23887204314478)-π/2
    2×0.234478183047124-π/2
    0.468956366094248-1.57079632675     		φ = -1.10183996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24438231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.002075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10183996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.130779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70634 KachelY 95405 0.24438231 -1.10183996 14.002075 -63.130779
    Oben rechts KachelX + 1 70635 KachelY 95405 0.24443025 -1.10183996 14.004822 -63.130779
    Unten links KachelX 70634 KachelY + 1 95406 0.24438231 -1.10186163 14.002075 -63.132021
    Unten rechts KachelX + 1 70635 KachelY + 1 95406 0.24443025 -1.10186163 14.004822 -63.132021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10183996--1.10186163) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dl = 138.059569999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10183996--1.10186163) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dr = 138.059569999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24438231-0.24443025) × cos(-1.10183996) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451955568642681 × 6371000     		do = 138.038863999801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24438231-0.24443025) × cos(-1.10186163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451936238020021 × 6371000     		du = 138.03295993007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10183996)-sin(-1.10186163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451955568642681-0.451936238020021)×R²
    abs(0.24443025-0.24438231)×1.93306226609624e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93306226609624e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93306226609624e-05×40589641000000     		ar = 19057.1786511896m²