Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70621 / 96737
↖ ↑ ↗
← S 64.737814°
E 13.966369°		 ← 130.34 m → S 64.737814°
E 13.969116°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
S 64.738985°
E 13.966369°		 ← 130.34 m →
16 982 m²		 S 64.738985°
E 13.969116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538799285888672 y=0.738048553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538799285888672 × 217)
    floor (0.538799285888672 × 131072)
    floor (70621.5)     		tx = 70621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738048553466797 × 217)
    floor (0.738048553466797 × 131072)
    floor (96737.5)     		ty = 96737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70621 / 96737 ti = "17/70621/96737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70621/96737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70621 ÷ 217
    70621 ÷ 131072     		x = 0.538795471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96737 ÷ 217
    96737 ÷ 131072     		y = 0.738044738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538795471191406 × 2 - 1) × π
    0.0775909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24375913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738044738769531 × 2 - 1) × π
    -0.476089477539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.49567920504537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24375913} λ = 0.24375913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49567920504537))-π/2
    2×atan(0.224096345660202)-π/2
    2×0.220454164864954-π/2
    0.440908329729908-1.57079632675     		φ = -1.12988800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24375913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.966369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12988800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.737814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70621 KachelY 96737 0.24375913 -1.12988800 13.966369 -64.737814
    Oben rechts KachelX + 1 70622 KachelY 96737 0.24380707 -1.12988800 13.969116 -64.737814
    Unten links KachelX 70621 KachelY + 1 96738 0.24375913 -1.12990845 13.966369 -64.738985
    Unten rechts KachelX + 1 70622 KachelY + 1 96738 0.24380707 -1.12990845 13.969116 -64.738985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12988800--1.12990845) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dl = 130.286950000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12988800--1.12990845) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dr = 130.286950000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24375913-0.24380707) × cos(-1.12988800) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426761099419146 × 6371000     		do = 130.343824593296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24375913-0.24380707) × cos(-1.12990845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426742605077975 × 6371000     		du = 130.338175945458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12988800)-sin(-1.12990845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426761099419146-0.426742605077975)×R²
    abs(0.24380707-0.24375913)×1.84943411701832e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84943411701832e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84943411701832e-05×40589641000000     		ar = 16981.731385664m²