Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7062 / 9128
↖ ↑ ↗
← N 78.161570°
W141.207275°		 ← 125.30 m → N 78.161570°
W141.201782°		 →
↑
125.32 m
↓
↑
125.32 m
↓
N 78.160443°
W141.207275°		 ← 125.32 m →
15 704 m²		 N 78.160443°
W141.201782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107765197753906 y=0.139289855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107765197753906 × 216)
    floor (0.107765197753906 × 65536)
    floor (7062.5)     		tx = 7062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139289855957031 × 216)
    floor (0.139289855957031 × 65536)
    floor (9128.5)     		ty = 9128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7062 / 9128 ti = "16/7062/9128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7062/9128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7062 ÷ 216
    7062 ÷ 65536     		x = 0.107757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9128 ÷ 216
    9128 ÷ 65536     		y = 0.1392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.78448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46453188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1392822265625 × 2 - 1) × π
    0.721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26645661403625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46453188} λ = -2.46453188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26645661403625))-π/2
    2×atan(9.64516365464815)-π/2
    2×1.46748653712226-π/2
    2.93497307424453-1.57079632675     		φ = 1.36417675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46453188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36417675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.161570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7062 KachelY 9128 -2.46453188 1.36417675 -141.207275 78.161570
    Oben rechts KachelX + 1 7063 KachelY 9128 -2.46443601 1.36417675 -141.201782 78.161570
    Unten links KachelX 7062 KachelY + 1 9129 -2.46453188 1.36415708 -141.207275 78.160443
    Unten rechts KachelX + 1 7063 KachelY + 1 9129 -2.46443601 1.36415708 -141.201782 78.160443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36417675-1.36415708) × R
    1.96699999999161e-05 × 6371000     		dl = 125.317569999466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36417675-1.36415708) × R
    1.96699999999161e-05 × 6371000     		dr = 125.317569999466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46453188--2.46443601) × cos(1.36417675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205152556681664 × 6371000     		do = 125.30467260539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46453188--2.46443601) × cos(1.36415708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205171808261232 × 6371000     		du = 125.316431234743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36417675)-sin(1.36415708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205152556681664-0.205171808261232)×R²
    abs(-2.46443601--2.46453188)×1.9251579567614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9251579567614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9251579567614e-05×40589641000000     		ar = 15703.6138622718m²