Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7062 / 5397
↖ ↑ ↗
← N 52.200874°
W 24.829101°		 ← 1 497.43 m → N 52.200874°
W 24.807129°		 →
↑
1 497.69 m
↓
↑
1 497.69 m
↓
N 52.187405°
W 24.829101°		 ← 1 497.89 m →
2 243 039 m²		 N 52.187405°
W 24.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431060791015625 y=0.329437255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431060791015625 × 214)
    floor (0.431060791015625 × 16384)
    floor (7062.5)     		tx = 7062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329437255859375 × 214)
    floor (0.329437255859375 × 16384)
    floor (5397.5)     		ty = 5397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7062 / 5397 ti = "14/7062/5397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7062/5397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7062 ÷ 214
    7062 ÷ 16384     		x = 0.4310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5397 ÷ 214
    5397 ÷ 16384     		y = 0.32940673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32940673828125 × 2 - 1) × π
    0.3411865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07186907550446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43334957} λ = -0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07186907550446))-π/2
    2×atan(2.92083365991715)-π/2
    2×1.24093672278067-π/2
    2.48187344556134-1.57079632675     		φ = 0.91107712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91107712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.200874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7062 KachelY 5397 -0.43334957 0.91107712 -24.829101 52.200874
    Oben rechts KachelX + 1 7063 KachelY 5397 -0.43296608 0.91107712 -24.807129 52.200874
    Unten links KachelX 7062 KachelY + 1 5398 -0.43334957 0.91084204 -24.829101 52.187405
    Unten rechts KachelX + 1 7063 KachelY + 1 5398 -0.43296608 0.91084204 -24.807129 52.187405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91107712-0.91084204) × R
    0.000235079999999943 × 6371000     		dl = 1497.69467999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91107712-0.91084204) × R
    0.000235079999999943 × 6371000     		dr = 1497.69467999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43334957--0.43296608) × cos(0.91107712) × R
    0.000383490000000042 × 0.612895003355115 × 6371000     		do = 1497.43413691448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43334957--0.43296608) × cos(0.91084204) × R
    0.000383490000000042 × 0.613080738255924 × 6371000     		du = 1497.88792717115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91107712)-sin(0.91084204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612895003355115-0.613080738255924)×R²
    abs(-0.43296608--0.43334957)×0.000185734900808754×R²
    0.000383490000000042×0.000185734900808754×6371000²
    0.000383490000000042×0.000185734900808754×40589641000000     		ar = 2243038.97046405m²