Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7062 / 10917
↖ ↑ ↗
← S 51.248163°
W 24.829101°		 ← 1 529.33 m → S 51.248163°
W 24.807129°		 →
↑
1 529.10 m
↓
↑
1 529.10 m
↓
S 51.261915°
W 24.829101°		 ← 1 528.87 m →
2 338 149 m²		 S 51.261915°
W 24.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431060791015625 y=0.666351318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431060791015625 × 214)
    floor (0.431060791015625 × 16384)
    floor (7062.5)     		tx = 7062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666351318359375 × 214)
    floor (0.666351318359375 × 16384)
    floor (10917.5)     		ty = 10917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7062 / 10917 ti = "14/7062/10917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7062/10917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7062 ÷ 214
    7062 ÷ 16384     		x = 0.4310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10917 ÷ 214
    10917 ÷ 16384     		y = 0.66632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.3326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04502441171722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43334957} λ = -0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04502441171722))-π/2
    2×atan(0.351683234081614)-π/2
    2×0.338173572044405-π/2
    0.676347144088809-1.57079632675     		φ = -0.89444918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89444918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.248163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7062 KachelY 10917 -0.43334957 -0.89444918 -24.829101 -51.248163
    Oben rechts KachelX + 1 7063 KachelY 10917 -0.43296608 -0.89444918 -24.807129 -51.248163
    Unten links KachelX 7062 KachelY + 1 10918 -0.43334957 -0.89468919 -24.829101 -51.261915
    Unten rechts KachelX + 1 7063 KachelY + 1 10918 -0.43296608 -0.89468919 -24.807129 -51.261915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89444918--0.89468919) × R
    0.000240010000000068 × 6371000     		dl = 1529.10371000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89444918--0.89468919) × R
    0.000240010000000068 × 6371000     		dr = 1529.10371000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43334957--0.43296608) × cos(-0.89444918) × R
    0.000383490000000042 × 0.625948476243417 × 6371000     		do = 1529.32657493605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43334957--0.43296608) × cos(-0.89468919) × R
    0.000383490000000042 × 0.625761282958258 × 6371000     		du = 1528.86922153316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89444918)-sin(-0.89468919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625948476243417-0.625761282958258)×R²
    abs(-0.43296608--0.43334957)×0.000187193285158593×R²
    0.000383490000000042×0.000187193285158593×6371000²
    0.000383490000000042×0.000187193285158593×40589641000000     		ar = 2338149.28036792m²