Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7061 / 5594
↖ ↑ ↗
← N 49.468124°
W 24.851074°		 ← 1 587.82 m → N 49.468124°
W 24.829101°		 →
↑
1 588.04 m
↓
↑
1 588.04 m
↓
N 49.453843°
W 24.851074°		 ← 1 588.28 m →
2 521 875 m²		 N 49.453843°
W 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430999755859375 y=0.341461181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430999755859375 × 214)
    floor (0.430999755859375 × 16384)
    floor (7061.5)     		tx = 7061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341461181640625 × 214)
    floor (0.341461181640625 × 16384)
    floor (5594.5)     		ty = 5594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7061 / 5594 ti = "14/7061/5594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7061/5594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7061 ÷ 214
    7061 ÷ 16384     		x = 0.43096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5594 ÷ 214
    5594 ÷ 16384     		y = 0.3414306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.1380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43373307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3414306640625 × 2 - 1) × π
    0.317138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.996320521703247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43373307} λ = -0.43373307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996320521703247))-π/2
    2×atan(2.7082983477306)-π/2
    2×1.21708898326819-π/2
    2.43417796653638-1.57079632675     		φ = 0.86338164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43373307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86338164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.468124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7061 KachelY 5594 -0.43373307 0.86338164 -24.851074 49.468124
    Oben rechts KachelX + 1 7062 KachelY 5594 -0.43334957 0.86338164 -24.829101 49.468124
    Unten links KachelX 7061 KachelY + 1 5595 -0.43373307 0.86313238 -24.851074 49.453843
    Unten rechts KachelX + 1 7062 KachelY + 1 5595 -0.43334957 0.86313238 -24.829101 49.453843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86338164-0.86313238) × R
    0.000249259999999918 × 6371000     		dl = 1588.03545999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86338164-0.86313238) × R
    0.000249259999999918 × 6371000     		dr = 1588.03545999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43373307--0.43334957) × cos(0.86338164) × R
    0.000383499999999981 × 0.649870991856825 × 6371000     		do = 1587.81582217738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43373307--0.43334957) × cos(0.86313238) × R
    0.000383499999999981 × 0.650060420367034 × 6371000     		du = 1588.27864878366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86338164)-sin(0.86313238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649870991856825-0.650060420367034)×R²
    abs(-0.43334957--0.43373307)×0.000189428510208645×R²
    0.000383499999999981×0.000189428510208645×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189428510208645×40589641000000     		ar = 2521875.3351543m²