Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7061 / 10916
↖ ↑ ↗
← S 51.234407°
W 24.851074°		 ← 1 529.82 m → S 51.234407°
W 24.829101°		 →
↑
1 529.55 m
↓
↑
1 529.55 m
↓
S 51.248163°
W 24.851074°		 ← 1 529.37 m →
2 339 592 m²		 S 51.248163°
W 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430999755859375 y=0.666290283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430999755859375 × 214)
    floor (0.430999755859375 × 16384)
    floor (7061.5)     		tx = 7061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666290283203125 × 214)
    floor (0.666290283203125 × 16384)
    floor (10916.5)     		ty = 10916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7061 / 10916 ti = "14/7061/10916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7061/10916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7061 ÷ 214
    7061 ÷ 16384     		x = 0.43096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10916 ÷ 214
    10916 ÷ 16384     		y = 0.666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.1380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43373307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.33251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04464091652026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43373307} λ = -0.43373307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04464091652026))-π/2
    2×atan(0.351818128776816)-π/2
    2×0.33829361410979-π/2
    0.67658722821958-1.57079632675     		φ = -0.89420910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43373307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.234407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7061 KachelY 10916 -0.43373307 -0.89420910 -24.851074 -51.234407
    Oben rechts KachelX + 1 7062 KachelY 10916 -0.43334957 -0.89420910 -24.829101 -51.234407
    Unten links KachelX 7061 KachelY + 1 10917 -0.43373307 -0.89444918 -24.851074 -51.248163
    Unten rechts KachelX + 1 7062 KachelY + 1 10917 -0.43334957 -0.89444918 -24.829101 -51.248163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89420910--0.89444918) × R
    0.000240079999999976 × 6371000     		dl = 1529.54967999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89420910--0.89444918) × R
    0.000240079999999976 × 6371000     		dr = 1529.54967999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43373307--0.43334957) × cos(-0.89420910) × R
    0.000383499999999981 × 0.626135688050928 × 6371000     		do = 1529.82386469746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43373307--0.43334957) × cos(-0.89444918) × R
    0.000383499999999981 × 0.625948476243417 × 6371000     		du = 1529.36645411323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89420910)-sin(-0.89444918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626135688050928-0.625948476243417)×R²
    abs(-0.43334957--0.43373307)×0.000187211807511356×R²
    0.000383499999999981×0.000187211807511356×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187211807511356×40589641000000     		ar = 2339591.79783525m²