Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7060 / 2292
↖ ↑ ↗
← N 78.116408°
W 24.873047°		 ← 503.12 m → N 78.116408°
W 24.851074°		 →
↑
503.25 m
↓
↑
503.25 m
↓
N 78.111882°
W 24.873047°		 ← 503.31 m →
253 239 m²		 N 78.111882°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430938720703125 y=0.139923095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430938720703125 × 214)
    floor (0.430938720703125 × 16384)
    floor (7060.5)     		tx = 7060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139923095703125 × 214)
    floor (0.139923095703125 × 16384)
    floor (2292.5)     		ty = 2292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7060 / 2292 ti = "14/7060/2292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7060/2292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7060 ÷ 214
    7060 ÷ 16384     		x = 0.430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2292 ÷ 214
    2292 ÷ 16384     		y = 0.139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139892578125 × 2 - 1) × π
    0.72021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26262166206665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43411656} λ = -0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26262166206665))-π/2
    2×atan(9.6082457497352)-π/2
    2×1.46709242288946-π/2
    2.93418484577891-1.57079632675     		φ = 1.36338852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36338852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.116408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7060 KachelY 2292 -0.43411656 1.36338852 -24.873047 78.116408
    Oben rechts KachelX + 1 7061 KachelY 2292 -0.43373307 1.36338852 -24.851074 78.116408
    Unten links KachelX 7060 KachelY + 1 2293 -0.43411656 1.36330953 -24.873047 78.111882
    Unten rechts KachelX + 1 7061 KachelY + 1 2293 -0.43373307 1.36330953 -24.851074 78.111882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36338852-1.36330953) × R
    7.8990000000001e-05 × 6371000     		dl = 503.245290000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36338852-1.36330953) × R
    7.8990000000001e-05 × 6371000     		dr = 503.245290000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43411656--0.43373307) × cos(1.36338852) × R
    0.000383489999999986 × 0.205923957224646 × 6371000     		do = 503.116457906565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43411656--0.43373307) × cos(1.36330953) × R
    0.000383489999999986 × 0.206001253668189 × 6371000     		du = 503.305309720643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36338852)-sin(1.36330953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205923957224646-0.206001253668189)×R²
    abs(-0.43373307--0.43411656)×7.72964435428181e-05×R²
    0.000383489999999986×7.72964435428181e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.72964435428181e-05×40589641000000     		ar = 253238.507287316m²