Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7060 / 10919
↖ ↑ ↗
← S 51.275663°
W 24.873047°		 ← 1 528.41 m → S 51.275663°
W 24.851074°		 →
↑
1 528.15 m
↓
↑
1 528.15 m
↓
S 51.289406°
W 24.873047°		 ← 1 527.95 m →
2 335 290 m²		 S 51.289406°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430938720703125 y=0.666473388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430938720703125 × 214)
    floor (0.430938720703125 × 16384)
    floor (7060.5)     		tx = 7060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666473388671875 × 214)
    floor (0.666473388671875 × 16384)
    floor (10919.5)     		ty = 10919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7060 / 10919 ti = "14/7060/10919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7060/10919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7060 ÷ 214
    7060 ÷ 16384     		x = 0.430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10919 ÷ 214
    10919 ÷ 16384     		y = 0.66644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.3328857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04579140211114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43411656} λ = -0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04579140211114))-π/2
    2×atan(0.351413599836026)-π/2
    2×0.33793359559818-π/2
    0.675867191196359-1.57079632675     		φ = -0.89492914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89492914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.275663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7060 KachelY 10919 -0.43411656 -0.89492914 -24.873047 -51.275663
    Oben rechts KachelX + 1 7061 KachelY 10919 -0.43373307 -0.89492914 -24.851074 -51.275663
    Unten links KachelX 7060 KachelY + 1 10920 -0.43411656 -0.89516900 -24.873047 -51.289406
    Unten rechts KachelX + 1 7061 KachelY + 1 10920 -0.43373307 -0.89516900 -24.851074 -51.289406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89492914--0.89516900) × R
    0.000239859999999981 × 6371000     		dl = 1528.14805999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89492914--0.89516900) × R
    0.000239859999999981 × 6371000     		dr = 1528.14805999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43411656--0.43373307) × cos(-0.89492914) × R
    0.000383489999999986 × 0.625574100436133 × 6371000     		do = 1528.41189442645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43411656--0.43373307) × cos(-0.89516900) × R
    0.000383489999999986 × 0.625386952124284 × 6371000     		du = 1527.95465090302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89492914)-sin(-0.89516900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625574100436133-0.625386952124284)×R²
    abs(-0.43373307--0.43411656)×0.000187148311848406×R²
    0.000383489999999986×0.000187148311848406×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187148311848406×40589641000000     		ar = 2335290.31464259m²