Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70598 / 95686
↖ ↑ ↗
← S 63.477505°
E 13.903198°		 ← 136.36 m → S 63.477505°
E 13.905945°		 →
↑
136.34 m
↓
↑
136.34 m
↓
S 63.478731°
E 13.903198°		 ← 136.35 m →
18 591 m²		 S 63.478731°
E 13.905945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538623809814453 y=0.730030059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538623809814453 × 217)
    floor (0.538623809814453 × 131072)
    floor (70598.5)     		tx = 70598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730030059814453 × 217)
    floor (0.730030059814453 × 131072)
    floor (95686.5)     		ty = 95686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70598 / 95686 ti = "17/70598/95686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70598/95686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70598 ÷ 217
    70598 ÷ 131072     		x = 0.538619995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95686 ÷ 217
    95686 ÷ 131072     		y = 0.730026245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538619995117188 × 2 - 1) × π
    0.077239990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24265659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730026245117188 × 2 - 1) × π
    -0.460052490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44529752354469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24265659} λ = 0.24265659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44529752354469))-π/2
    2×atan(0.235675946980636)-π/2
    2×0.231452435325403-π/2
    0.462904870650807-1.57079632675     		φ = -1.10789146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24265659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10789146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.477505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70598 KachelY 95686 0.24265659 -1.10789146 13.903198 -63.477505
    Oben rechts KachelX + 1 70599 KachelY 95686 0.24270452 -1.10789146 13.905945 -63.477505
    Unten links KachelX 70598 KachelY + 1 95687 0.24265659 -1.10791286 13.903198 -63.478731
    Unten rechts KachelX + 1 70599 KachelY + 1 95687 0.24270452 -1.10791286 13.905945 -63.478731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10789146--1.10791286) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dl = 136.339400000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10789146--1.10791286) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dr = 136.339400000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24265659-0.24270452) × cos(-1.10789146) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.446549143379912 × 6371000     		do = 136.359152917255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24265659-0.24270452) × cos(-1.10791286) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.446529995432737 × 6371000     		du = 136.353305861236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10789146)-sin(-1.10791286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446549143379912-0.446529995432737)×R²
    abs(0.24270452-0.24265659)×1.91479471749467e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91479471749467e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91479471749467e-05×40589641000000     		ar = 18590.726502087m²