Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70597 / 95709
↖ ↑ ↗
← S 63.505700°
E 13.900452°		 ← 136.25 m → S 63.505700°
E 13.903198°		 →
↑
136.21 m
↓
↑
136.21 m
↓
S 63.506925°
E 13.900452°		 ← 136.25 m →
18 559 m²		 S 63.506925°
E 13.903198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538616180419922 y=0.730205535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538616180419922 × 217)
    floor (0.538616180419922 × 131072)
    floor (70597.5)     		tx = 70597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730205535888672 × 217)
    floor (0.730205535888672 × 131072)
    floor (95709.5)     		ty = 95709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70597 / 95709 ti = "17/70597/95709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70597/95709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70597 ÷ 217
    70597 ÷ 131072     		x = 0.538612365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95709 ÷ 217
    95709 ÷ 131072     		y = 0.730201721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538612365722656 × 2 - 1) × π
    0.0772247314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24260865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730201721191406 × 2 - 1) × π
    -0.460403442382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.44640007223595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24260865} λ = 0.24260865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44640007223595))-π/2
    2×atan(0.235416245966546)-π/2
    2×0.231206385632501-π/2
    0.462412771265003-1.57079632675     		φ = -1.10838356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24260865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.900452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10838356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.505700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70597 KachelY 95709 0.24260865 -1.10838356 13.900452 -63.505700
    Oben rechts KachelX + 1 70598 KachelY 95709 0.24265659 -1.10838356 13.903198 -63.505700
    Unten links KachelX 70597 KachelY + 1 95710 0.24260865 -1.10840494 13.900452 -63.506925
    Unten rechts KachelX + 1 70598 KachelY + 1 95710 0.24265659 -1.10840494 13.903198 -63.506925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10838356--1.10840494) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dl = 136.211979999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10838356--1.10840494) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dr = 136.211979999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24260865-0.24265659) × cos(-1.10838356) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.4461087783716 × 6371000     		do = 136.253103754631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24260865-0.24265659) × cos(-1.10840494) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.446089643624028 × 6371000     		du = 136.247259510194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10838356)-sin(-1.10840494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4461087783716-0.446089643624028)×R²
    abs(0.24265659-0.24260865)×1.91347475718695e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91347475718695e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91347475718695e-05×40589641000000     		ar = 18558.9070162969m²