Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70596 / 95685
↖ ↑ ↗
← S 63.476278°
E 13.897705°		 ← 136.39 m → S 63.476278°
E 13.900452°		 →
↑
136.40 m
↓
↑
136.40 m
↓
S 63.477505°
E 13.897705°		 ← 136.39 m →
18 604 m²		 S 63.477505°
E 13.900452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538608551025391 y=0.730022430419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538608551025391 × 217)
    floor (0.538608551025391 × 131072)
    floor (70596.5)     		tx = 70596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730022430419922 × 217)
    floor (0.730022430419922 × 131072)
    floor (95685.5)     		ty = 95685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70596 / 95685 ti = "17/70596/95685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70596/95685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70596 ÷ 217
    70596 ÷ 131072     		x = 0.538604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95685 ÷ 217
    95685 ÷ 131072     		y = 0.730018615722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538604736328125 × 2 - 1) × π
    0.07720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24256071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730018615722656 × 2 - 1) × π
    -0.460037231445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.44524958664507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24256071} λ = 0.24256071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44524958664507))-π/2
    2×atan(0.235687244825639)-π/2
    2×0.231463138645758-π/2
    0.462926277291515-1.57079632675     		φ = -1.10787005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24256071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10787005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.476278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70596 KachelY 95685 0.24256071 -1.10787005 13.897705 -63.476278
    Oben rechts KachelX + 1 70597 KachelY 95685 0.24260865 -1.10787005 13.900452 -63.476278
    Unten links KachelX 70596 KachelY + 1 95686 0.24256071 -1.10789146 13.897705 -63.477505
    Unten rechts KachelX + 1 70597 KachelY + 1 95686 0.24260865 -1.10789146 13.900452 -63.477505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10787005--1.10789146) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dl = 136.403109999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10787005--1.10789146) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dr = 136.403109999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24256071-0.24260865) × cos(-1.10787005) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.446568300070081 × 6371000     		do = 136.393453509436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24256071-0.24260865) × cos(-1.10789146) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.446549143379912 × 6371000     		du = 136.387602563165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10787005)-sin(-1.10789146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446568300070081-0.446549143379912)×R²
    abs(0.24260865-0.24256071)×1.91566901687201e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91566901687201e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91566901687201e-05×40589641000000     		ar = 18604.0921993477m²