Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70592 / 97091
↖ ↑ ↗
← S 65.149578°
E 13.886718°		 ← 128.36 m → S 65.149578°
E 13.889465°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
S 65.150732°
E 13.886718°		 ← 128.35 m →
16 469 m²		 S 65.150732°
E 13.889465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538578033447266 y=0.740749359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538578033447266 × 217)
    floor (0.538578033447266 × 131072)
    floor (70592.5)     		tx = 70592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740749359130859 × 217)
    floor (0.740749359130859 × 131072)
    floor (97091.5)     		ty = 97091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70592 / 97091 ti = "17/70592/97091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70592/97091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70592 ÷ 217
    70592 ÷ 131072     		x = 0.53857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97091 ÷ 217
    97091 ÷ 131072     		y = 0.740745544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53857421875 × 2 - 1) × π
    0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740745544433594 × 2 - 1) × π
    -0.481491088867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.51264886751087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24236896} λ = 0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51264886751087))-π/2
    2×atan(0.220325591019419)-π/2
    2×0.216860843668439-π/2
    0.433721687336878-1.57079632675     		φ = -1.13707464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13707464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.149578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70592 KachelY 97091 0.24236896 -1.13707464 13.886718 -65.149578
    Oben rechts KachelX + 1 70593 KachelY 97091 0.24241690 -1.13707464 13.889465 -65.149578
    Unten links KachelX 70592 KachelY + 1 97092 0.24236896 -1.13709478 13.886718 -65.150732
    Unten rechts KachelX + 1 70593 KachelY + 1 97092 0.24241690 -1.13709478 13.889465 -65.150732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13707464--1.13709478) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13707464--1.13709478) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24236896-0.24241690) × cos(-1.13707464) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420250793421899 × 6371000     		do = 128.355409566461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24236896-0.24241690) × cos(-1.13709478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420232518139637 × 6371000     		du = 128.349827824852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13707464)-sin(-1.13709478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420250793421899-0.420232518139637)×R²
    abs(0.24241690-0.24236896)×1.82752822627252e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82752822627252e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82752822627252e-05×40589641000000     		ar = 16469.1735093046m²