Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7059 / 5387
↖ ↑ ↗
← N 52.335339°
W 24.895020°		 ← 1 492.94 m → N 52.335339°
W 24.873047°		 →
↑
1 493.11 m
↓
↑
1 493.11 m
↓
N 52.321911°
W 24.895020°		 ← 1 493.39 m →
2 229 456 m²		 N 52.321911°
W 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430877685546875 y=0.328826904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430877685546875 × 214)
    floor (0.430877685546875 × 16384)
    floor (7059.5)     		tx = 7059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328826904296875 × 214)
    floor (0.328826904296875 × 16384)
    floor (5387.5)     		ty = 5387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7059 / 5387 ti = "14/7059/5387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7059/5387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7059 ÷ 214
    7059 ÷ 16384     		x = 0.43084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5387 ÷ 214
    5387 ÷ 16384     		y = 0.32879638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43084716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1383056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43450006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32879638671875 × 2 - 1) × π
    0.3424072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07570402747406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43450006} λ = -0.43450006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07570402747406))-π/2
    2×atan(2.93205642233727)-π/2
    2×1.24211015436411-π/2
    2.48422030872821-1.57079632675     		φ = 0.91342398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43450006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.895020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91342398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.335339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7059 KachelY 5387 -0.43450006 0.91342398 -24.895020 52.335339
    Oben rechts KachelX + 1 7060 KachelY 5387 -0.43411656 0.91342398 -24.873047 52.335339
    Unten links KachelX 7059 KachelY + 1 5388 -0.43450006 0.91318962 -24.895020 52.321911
    Unten rechts KachelX + 1 7060 KachelY + 1 5388 -0.43411656 0.91318962 -24.873047 52.321911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91342398-0.91318962) × R
    0.000234359999999989 × 6371000     		dl = 1493.10755999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91342398-0.91318962) × R
    0.000234359999999989 × 6371000     		dr = 1493.10755999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43450006--0.43411656) × cos(0.91342398) × R
    0.000383500000000037 × 0.611038912092863 × 6371000     		do = 1492.93823658002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43450006--0.43411656) × cos(0.91318962) × R
    0.000383500000000037 × 0.611224414818064 × 6371000     		du = 1493.3914714002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91342398)-sin(0.91318962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611038912092863-0.611224414818064)×R²
    abs(-0.43411656--0.43450006)×0.000185502725201347×R²
    0.000383500000000037×0.000185502725201347×6371000²
    0.000383500000000037×0.000185502725201347×40589641000000     		ar = 2229455.74202201m²