Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7059 / 10923
↖ ↑ ↗
← S 51.330612°
W 24.895020°		 ← 1 526.62 m → S 51.330612°
W 24.873047°		 →
↑
1 526.36 m
↓
↑
1 526.36 m
↓
S 51.344339°
W 24.895020°		 ← 1 526.17 m →
2 329 834 m²		 S 51.344339°
W 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430877685546875 y=0.666717529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430877685546875 × 214)
    floor (0.430877685546875 × 16384)
    floor (7059.5)     		tx = 7059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666717529296875 × 214)
    floor (0.666717529296875 × 16384)
    floor (10923.5)     		ty = 10923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7059 / 10923 ti = "14/7059/10923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7059/10923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7059 ÷ 214
    7059 ÷ 16384     		x = 0.43084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10923 ÷ 214
    10923 ÷ 16384     		y = 0.66668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43084716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1383056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43450006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.3333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04732538289899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43450006} λ = -0.43450006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04732538289899))-π/2
    2×atan(0.350874951369116)-π/2
    2×0.337454073336621-π/2
    0.674908146673243-1.57079632675     		φ = -0.89588818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43450006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.895020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89588818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.330612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7059 KachelY 10923 -0.43450006 -0.89588818 -24.895020 -51.330612
    Oben rechts KachelX + 1 7060 KachelY 10923 -0.43411656 -0.89588818 -24.873047 -51.330612
    Unten links KachelX 7059 KachelY + 1 10924 -0.43450006 -0.89612776 -24.895020 -51.344339
    Unten rechts KachelX + 1 7060 KachelY + 1 10924 -0.43411656 -0.89612776 -24.873047 -51.344339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89588818--0.89612776) × R
    0.000239580000000017 × 6371000     		dl = 1526.36418000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89588818--0.89612776) × R
    0.000239580000000017 × 6371000     		dr = 1526.36418000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43450006--0.43411656) × cos(-0.89588818) × R
    0.000383500000000037 × 0.62482560365596 × 6371000     		do = 1526.62296366227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43450006--0.43411656) × cos(-0.89612776) × R
    0.000383500000000037 × 0.624638530203526 × 6371000     		du = 1526.16589111802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89588818)-sin(-0.89612776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62482560365596-0.624638530203526)×R²
    abs(-0.43411656--0.43450006)×0.000187073452433406×R²
    0.000383500000000037×0.000187073452433406×6371000²
    0.000383500000000037×0.000187073452433406×40589641000000     		ar = 2329833.78966371m²