Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70588 / 95293
↖ ↑ ↗
← S 62.991417°
E 13.875733°		 ← 138.67 m → S 62.991417°
E 13.878479°		 →
↑
138.70 m
↓
↑
138.70 m
↓
S 62.992664°
E 13.875733°		 ← 138.67 m →
19 233 m²		 S 62.992664°
E 13.878479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538547515869141 y=0.727031707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538547515869141 × 217)
    floor (0.538547515869141 × 131072)
    floor (70588.5)     		tx = 70588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727031707763672 × 217)
    floor (0.727031707763672 × 131072)
    floor (95293.5)     		ty = 95293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70588 / 95293 ti = "17/70588/95293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70588/95293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70588 ÷ 217
    70588 ÷ 131072     		x = 0.538543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95293 ÷ 217
    95293 ÷ 131072     		y = 0.727027893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538543701171875 × 2 - 1) × π
    0.07708740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24217722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727027893066406 × 2 - 1) × π
    -0.454055786132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.42645832199401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24217722} λ = 0.24217722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42645832199401))-π/2
    2×atan(0.240157980047465)-π/2
    2×0.235694351355197-π/2
    0.471388702710393-1.57079632675     		φ = -1.09940762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24217722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.875733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09940762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.991417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70588 KachelY 95293 0.24217722 -1.09940762 13.875733 -62.991417
    Oben rechts KachelX + 1 70589 KachelY 95293 0.24222515 -1.09940762 13.878479 -62.991417
    Unten links KachelX 70588 KachelY + 1 95294 0.24217722 -1.09942939 13.875733 -62.992664
    Unten rechts KachelX + 1 70589 KachelY + 1 95294 0.24222515 -1.09942939 13.878479 -62.992664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09940762--1.09942939) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dl = 138.696670000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09940762--1.09942939) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dr = 138.696670000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24217722-0.24222515) × cos(-1.09940762) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454123975224027 × 6371000     		do = 138.672218946083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24217722-0.24222515) × cos(-1.09942939) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454104579385218 × 6371000     		du = 138.666296193371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09940762)-sin(-1.09942939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454123975224027-0.454104579385218)×R²
    abs(0.24222515-0.24217722)×1.93958388087223e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93958388087223e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93958388087223e-05×40589641000000     		ar = 19232.96425718m²