Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70585 / 95700
↖ ↑ ↗
← S 63.494670°
E 13.867493°		 ← 136.28 m → S 63.494670°
E 13.870239°		 →
↑
136.34 m
↓
↑
136.34 m
↓
S 63.495896°
E 13.867493°		 ← 136.27 m →
18 580 m²		 S 63.495896°
E 13.870239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538524627685547 y=0.730136871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538524627685547 × 217)
    floor (0.538524627685547 × 131072)
    floor (70585.5)     		tx = 70585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730136871337891 × 217)
    floor (0.730136871337891 × 131072)
    floor (95700.5)     		ty = 95700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70585 / 95700 ti = "17/70585/95700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70585/95700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70585 ÷ 217
    70585 ÷ 131072     		x = 0.538520812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95700 ÷ 217
    95700 ÷ 131072     		y = 0.730133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538520812988281 × 2 - 1) × π
    0.0770416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24203341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730133056640625 × 2 - 1) × π
    -0.46026611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44596864013937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24203341} λ = 0.24203341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44596864013937))-π/2
    2×atan(0.235517834003706)-π/2
    2×0.231302637036771-π/2
    0.462605274073542-1.57079632675     		φ = -1.10819105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24203341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.867493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10819105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.494670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70585 KachelY 95700 0.24203341 -1.10819105 13.867493 -63.494670
    Oben rechts KachelX + 1 70586 KachelY 95700 0.24208134 -1.10819105 13.870239 -63.494670
    Unten links KachelX 70585 KachelY + 1 95701 0.24203341 -1.10821245 13.867493 -63.495896
    Unten rechts KachelX + 1 70586 KachelY + 1 95701 0.24208134 -1.10821245 13.870239 -63.495896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10819105--1.10821245) × R
    2.13999999998382e-05 × 6371000     		dl = 136.339399998969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10819105--1.10821245) × R
    2.13999999998382e-05 × 6371000     		dr = 136.339399998969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24203341-0.24208134) × cos(-1.10819105) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.446281062462732 × 6371000     		do = 136.277291184181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24203341-0.24208134) × cos(-1.10821245) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.446261911653551 × 6371000     		du = 136.271443254213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10819105)-sin(-1.10821245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446281062462732-0.446261911653551)×R²
    abs(0.24208134-0.24203341)×1.91508091814674e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91508091814674e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91508091814674e-05×40589641000000     		ar = 18579.5654625323m²