Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70584 / 95288
↖ ↑ ↗
← S 62.985180°
E 13.864746°		 ← 138.73 m → S 62.985180°
E 13.867493°		 →
↑
138.70 m
↓
↑
138.70 m
↓
S 62.986427°
E 13.864746°		 ← 138.72 m →
19 241 m²		 S 62.986427°
E 13.867493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538516998291016 y=0.726993560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538516998291016 × 217)
    floor (0.538516998291016 × 131072)
    floor (70584.5)     		tx = 70584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726993560791016 × 217)
    floor (0.726993560791016 × 131072)
    floor (95288.5)     		ty = 95288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70584 / 95288 ti = "17/70584/95288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70584/95288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70584 ÷ 217
    70584 ÷ 131072     		x = 0.53851318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95288 ÷ 217
    95288 ÷ 131072     		y = 0.72698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53851318359375 × 2 - 1) × π
    0.0770263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24198547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.4539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42621863749591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24198547} λ = 0.24198547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42621863749591))-π/2
    2×atan(0.240215549091306)-π/2
    2×0.235748780404487-π/2
    0.471497560808974-1.57079632675     		φ = -1.09929877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24198547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09929877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.985180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70584 KachelY 95288 0.24198547 -1.09929877 13.864746 -62.985180
    Oben rechts KachelX + 1 70585 KachelY 95288 0.24203341 -1.09929877 13.867493 -62.985180
    Unten links KachelX 70584 KachelY + 1 95289 0.24198547 -1.09932054 13.864746 -62.986427
    Unten rechts KachelX + 1 70585 KachelY + 1 95289 0.24203341 -1.09932054 13.867493 -62.986427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09929877--1.09932054) × R
    2.176999999981e-05 × 6371000     		dl = 138.69666999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09929877--1.09932054) × R
    2.176999999981e-05 × 6371000     		dr = 138.69666999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24198547-0.24203341) × cos(-1.09929877) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.454220951189522 × 6371000     		do = 138.730770140553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24198547-0.24203341) × cos(-1.09932054) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.454201556426927 × 6371000     		du = 138.724846480835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09929877)-sin(-1.09932054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454220951189522-0.454201556426927)×R²
    abs(0.24203341-0.24198547)×1.93947625951041e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93947625951041e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93947625951041e-05×40589641000000     		ar = 19241.0850497056m²