Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70582 / 95645
↖ ↑ ↗
← S 63.427174°
E 13.859253°		 ← 136.60 m → S 63.427174°
E 13.861999°		 →
↑
136.59 m
↓
↑
136.59 m
↓
S 63.428403°
E 13.859253°		 ← 136.59 m →
18 658 m²		 S 63.428403°
E 13.861999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538501739501953 y=0.729717254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538501739501953 × 217)
    floor (0.538501739501953 × 131072)
    floor (70582.5)     		tx = 70582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729717254638672 × 217)
    floor (0.729717254638672 × 131072)
    floor (95645.5)     		ty = 95645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70582 / 95645 ti = "17/70582/95645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70582/95645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70582 ÷ 217
    70582 ÷ 131072     		x = 0.538497924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95645 ÷ 217
    95645 ÷ 131072     		y = 0.729713439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538497924804688 × 2 - 1) × π
    0.076995849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24188960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729713439941406 × 2 - 1) × π
    -0.459426879882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.44333211066027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24188960} λ = 0.24188960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44333211066027))-π/2
    2×atan(0.236139603011897)-π/2
    2×0.231891648072572-π/2
    0.463783296145144-1.57079632675     		φ = -1.10701303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24188960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.859253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10701303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.427174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70582 KachelY 95645 0.24188960 -1.10701303 13.859253 -63.427174
    Oben rechts KachelX + 1 70583 KachelY 95645 0.24193753 -1.10701303 13.861999 -63.427174
    Unten links KachelX 70582 KachelY + 1 95646 0.24188960 -1.10703447 13.859253 -63.428403
    Unten rechts KachelX + 1 70583 KachelY + 1 95646 0.24193753 -1.10703447 13.861999 -63.428403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10701303--1.10703447) × R
    2.14400000000392e-05 × 6371000     		dl = 136.59424000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10701303--1.10703447) × R
    2.14400000000392e-05 × 6371000     		dr = 136.59424000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24188960-0.24193753) × cos(-1.10701303) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.447334954235242 × 6371000     		do = 136.599109715235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24188960-0.24193753) × cos(-1.10703447) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.447315778914641 × 6371000     		du = 136.593254300411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10701303)-sin(-1.10703447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447334954235242-0.447315778914641)×R²
    abs(0.24193753-0.24188960)×1.91753206013057e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91753206013057e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91753206013057e-05×40589641000000     		ar = 18658.2516691316m²