Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7058 / 9132
↖ ↑ ↗
← N 78.157062°
W141.229248°		 ← 125.36 m → N 78.157062°
W141.223755°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
N 78.155934°
W141.229248°		 ← 125.38 m →
15 719 m²		 N 78.155934°
W141.223755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107704162597656 y=0.139350891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107704162597656 × 216)
    floor (0.107704162597656 × 65536)
    floor (7058.5)     		tx = 7058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139350891113281 × 216)
    floor (0.139350891113281 × 65536)
    floor (9132.5)     		ty = 9132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7058 / 9132 ti = "16/7058/9132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7058/9132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7058 ÷ 216
    7058 ÷ 65536     		x = 0.107696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9132 ÷ 216
    9132 ÷ 65536     		y = 0.13934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107696533203125 × 2 - 1) × π
    -0.78460693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46491538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13934326171875 × 2 - 1) × π
    0.7213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26607311883929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46491538} λ = -2.46491538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26607311883929))-π/2
    2×atan(9.64146548987223)-π/2
    2×1.4674471922284-π/2
    2.9348943844568-1.57079632675     		φ = 1.36409806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46491538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.229248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36409806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.157062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7058 KachelY 9132 -2.46491538 1.36409806 -141.229248 78.157062
    Oben rechts KachelX + 1 7059 KachelY 9132 -2.46481950 1.36409806 -141.223755 78.157062
    Unten links KachelX 7058 KachelY + 1 9133 -2.46491538 1.36407838 -141.229248 78.155934
    Unten rechts KachelX + 1 7059 KachelY + 1 9133 -2.46481950 1.36407838 -141.223755 78.155934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36409806-1.36407838) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dl = 125.381279999079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36409806-1.36407838) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dr = 125.381279999079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46491538--2.46481950) × cos(1.36409806) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205229572310747 × 6371000     		do = 125.364787985705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46491538--2.46481950) × cos(1.36407838) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205248833359797 × 6371000     		du = 125.376553626023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36409806)-sin(1.36407838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205229572310747-0.205248833359797)×R²
    abs(-2.46481950--2.46491538)×1.92610490495349e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.92610490495349e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.92610490495349e-05×40589641000000     		ar = 15719.1351804923m²