Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7058 / 10927
↖ ↑ ↗
← S 51.385495°
W 24.916992°		 ← 1 524.76 m → S 51.385495°
W 24.895020°		 →
↑
1 524.52 m
↓
↑
1 524.52 m
↓
S 51.399206°
W 24.916992°		 ← 1 524.30 m →
2 324 166 m²		 S 51.399206°
W 24.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430816650390625 y=0.666961669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430816650390625 × 214)
    floor (0.430816650390625 × 16384)
    floor (7058.5)     		tx = 7058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666961669921875 × 214)
    floor (0.666961669921875 × 16384)
    floor (10927.5)     		ty = 10927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7058 / 10927 ti = "14/7058/10927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7058/10927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7058 ÷ 214
    7058 ÷ 16384     		x = 0.4307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10927 ÷ 214
    10927 ÷ 16384     		y = 0.66693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.3338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04885936368683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43488355} λ = -0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04885936368683))-π/2
    2×atan(0.350337128545183)-π/2
    2×0.336975125044175-π/2
    0.673950250088349-1.57079632675     		φ = -0.89684608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89684608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.385495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7058 KachelY 10927 -0.43488355 -0.89684608 -24.916992 -51.385495
    Oben rechts KachelX + 1 7059 KachelY 10927 -0.43450006 -0.89684608 -24.895020 -51.385495
    Unten links KachelX 7058 KachelY + 1 10928 -0.43488355 -0.89708537 -24.916992 -51.399206
    Unten rechts KachelX + 1 7059 KachelY + 1 10928 -0.43450006 -0.89708537 -24.895020 -51.399206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89684608--0.89708537) × R
    0.000239290000000003 × 6371000     		dl = 1524.51659000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89684608--0.89708537) × R
    0.000239290000000003 × 6371000     		dr = 1524.51659000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43488355--0.43450006) × cos(-0.89684608) × R
    0.000383489999999986 × 0.624077422941323 × 6371000     		do = 1524.75518983527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43488355--0.43450006) × cos(-0.89708537) × R
    0.000383489999999986 × 0.62389043284113 × 6371000     		du = 1524.2983328569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89684608)-sin(-0.89708537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624077422941323-0.62389043284113)×R²
    abs(-0.43450006--0.43488355)×0.000186990100193185×R²
    0.000383489999999986×0.000186990100193185×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186990100193185×40589641000000     		ar = 2324166.35066154m²