Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7058 / 10918
↖ ↑ ↗
← S 51.261915°
W 24.916992°		 ← 1 528.87 m → S 51.261915°
W 24.895020°		 →
↑
1 528.72 m
↓
↑
1 528.72 m
↓
S 51.275663°
W 24.916992°		 ← 1 528.41 m →
2 336 866 m²		 S 51.275663°
W 24.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430816650390625 y=0.666412353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430816650390625 × 214)
    floor (0.430816650390625 × 16384)
    floor (7058.5)     		tx = 7058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666412353515625 × 214)
    floor (0.666412353515625 × 16384)
    floor (10918.5)     		ty = 10918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7058 / 10918 ti = "14/7058/10918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7058/10918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7058 ÷ 214
    7058 ÷ 16384     		x = 0.4307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10918 ÷ 214
    10918 ÷ 16384     		y = 0.6663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.332763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04540790691418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43488355} λ = -0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04540790691418))-π/2
    2×atan(0.351548391107961)-π/2
    2×0.338053565875142-π/2
    0.676107131750284-1.57079632675     		φ = -0.89468919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89468919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.261915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7058 KachelY 10918 -0.43488355 -0.89468919 -24.916992 -51.261915
    Oben rechts KachelX + 1 7059 KachelY 10918 -0.43450006 -0.89468919 -24.895020 -51.261915
    Unten links KachelX 7058 KachelY + 1 10919 -0.43488355 -0.89492914 -24.916992 -51.275663
    Unten rechts KachelX + 1 7059 KachelY + 1 10919 -0.43450006 -0.89492914 -24.895020 -51.275663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89468919--0.89492914) × R
    0.000239949999999989 × 6371000     		dl = 1528.72144999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89468919--0.89492914) × R
    0.000239949999999989 × 6371000     		dr = 1528.72144999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43488355--0.43450006) × cos(-0.89468919) × R
    0.000383489999999986 × 0.625761282958258 × 6371000     		do = 1528.86922153294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43488355--0.43450006) × cos(-0.89492914) × R
    0.000383489999999986 × 0.625574100436133 × 6371000     		du = 1528.41189442645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89468919)-sin(-0.89492914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625761282958258-0.625574100436133)×R²
    abs(-0.43450006--0.43488355)×0.000187182522125573×R²
    0.000383489999999986×0.000187182522125573×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187182522125573×40589641000000     		ar = 2336865.6215364m²