Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7058 / 10891
↖ ↑ ↗
← S 50.889174°
W 24.916992°		 ← 1 541.23 m → S 50.889174°
W 24.895020°		 →
↑
1 541.02 m
↓
↑
1 541.02 m
↓
S 50.903033°
W 24.916992°		 ← 1 540.78 m →
2 374 716 m²		 S 50.903033°
W 24.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430816650390625 y=0.664764404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430816650390625 × 214)
    floor (0.430816650390625 × 16384)
    floor (7058.5)     		tx = 7058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664764404296875 × 214)
    floor (0.664764404296875 × 16384)
    floor (10891.5)     		ty = 10891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7058 / 10891 ti = "14/7058/10891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7058/10891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7058 ÷ 214
    7058 ÷ 16384     		x = 0.4307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10891 ÷ 214
    10891 ÷ 16384     		y = 0.66473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.3294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03505353659625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43488355} λ = -0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03505353659625))-π/2
    2×atan(0.355207363822678)-π/2
    2×0.341306343019871-π/2
    0.682612686039742-1.57079632675     		φ = -0.88818364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88818364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.889174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7058 KachelY 10891 -0.43488355 -0.88818364 -24.916992 -50.889174
    Oben rechts KachelX + 1 7059 KachelY 10891 -0.43450006 -0.88818364 -24.895020 -50.889174
    Unten links KachelX 7058 KachelY + 1 10892 -0.43488355 -0.88842552 -24.916992 -50.903033
    Unten rechts KachelX + 1 7059 KachelY + 1 10892 -0.43450006 -0.88842552 -24.895020 -50.903033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88818364--0.88842552) × R
    0.000241879999999917 × 6371000     		dl = 1541.01747999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88818364--0.88842552) × R
    0.000241879999999917 × 6371000     		dr = 1541.01747999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43488355--0.43450006) × cos(-0.88818364) × R
    0.000383489999999986 × 0.630822429570585 × 6371000     		do = 1541.23468979053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43488355--0.43450006) × cos(-0.88842552) × R
    0.000383489999999986 × 0.630634729841203 × 6371000     		du = 1540.77609903563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88818364)-sin(-0.88842552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630822429570585-0.630634729841203)×R²
    abs(-0.43450006--0.43488355)×0.000187699729381374×R²
    0.000383489999999986×0.000187699729381374×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187699729381374×40589641000000     		ar = 2374716.26114175m²