Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70573 / 95443
↖ ↑ ↗
← S 63.177912°
E 13.834533°		 ← 137.81 m → S 63.177912°
E 13.837280°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
S 63.179151°
E 13.834533°		 ← 137.81 m →
18 982 m²		 S 63.179151°
E 13.837280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538433074951172 y=0.728176116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538433074951172 × 217)
    floor (0.538433074951172 × 131072)
    floor (70573.5)     		tx = 70573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728176116943359 × 217)
    floor (0.728176116943359 × 131072)
    floor (95443.5)     		ty = 95443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70573 / 95443 ti = "17/70573/95443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70573/95443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70573 ÷ 217
    70573 ÷ 131072     		x = 0.538429260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95443 ÷ 217
    95443 ÷ 131072     		y = 0.728172302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538429260253906 × 2 - 1) × π
    0.0768585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24145816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728172302246094 × 2 - 1) × π
    -0.456344604492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.43364885693702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24145816} λ = 0.24145816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43364885693702))-π/2
    2×atan(0.238437309385113)-π/2
    2×0.234066875734268-π/2
    0.468133751468535-1.57079632675     		φ = -1.10266258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24145816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.834533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10266258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.177912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70573 KachelY 95443 0.24145816 -1.10266258 13.834533 -63.177912
    Oben rechts KachelX + 1 70574 KachelY 95443 0.24150610 -1.10266258 13.837280 -63.177912
    Unten links KachelX 70573 KachelY + 1 95444 0.24145816 -1.10268420 13.834533 -63.179151
    Unten rechts KachelX + 1 70574 KachelY + 1 95444 0.24150610 -1.10268420 13.837280 -63.179151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10266258--1.10268420) × R
    2.16199999998334e-05 × 6371000     		dl = 137.741019998939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10266258--1.10268420) × R
    2.16199999998334e-05 × 6371000     		dr = 137.741019998939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24145816-0.24150610) × cos(-1.10266258) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451221605490692 × 6371000     		do = 137.814692760972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24145816-0.24150610) × cos(-1.10268420) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451202311439191 × 6371000     		du = 137.808799861015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10266258)-sin(-1.10268420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451221605490692-0.451202311439191)×R²
    abs(0.24150610-0.24145816)×1.92940515012507e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92940515012507e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92940515012507e-05×40589641000000     		ar = 18982.3305054498m²