Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7057 / 5385
↖ ↑ ↗
← N 52.362183°
W 24.938965°		 ← 1 492.03 m → N 52.362183°
W 24.916992°		 →
↑
1 492.22 m
↓
↑
1 492.22 m
↓
N 52.348763°
W 24.938965°		 ← 1 492.49 m →
2 226 771 m²		 N 52.348763°
W 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430755615234375 y=0.328704833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430755615234375 × 214)
    floor (0.430755615234375 × 16384)
    floor (7057.5)     		tx = 7057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328704833984375 × 214)
    floor (0.328704833984375 × 16384)
    floor (5385.5)     		ty = 5385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7057 / 5385 ti = "14/7057/5385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7057/5385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7057 ÷ 214
    7057 ÷ 16384     		x = 0.43072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5385 ÷ 214
    5385 ÷ 16384     		y = 0.32867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.1385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43526705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32867431640625 × 2 - 1) × π
    0.3426513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07647101786798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43526705} λ = -0.43526705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07647101786798))-π/2
    2×atan(2.93430614409483)-π/2
    2×1.24234441372041-π/2
    2.48468882744081-1.57079632675     		φ = 0.91389250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43526705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.938965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91389250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.362183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7057 KachelY 5385 -0.43526705 0.91389250 -24.938965 52.362183
    Oben rechts KachelX + 1 7058 KachelY 5385 -0.43488355 0.91389250 -24.916992 52.362183
    Unten links KachelX 7057 KachelY + 1 5386 -0.43526705 0.91365828 -24.938965 52.348763
    Unten rechts KachelX + 1 7058 KachelY + 1 5386 -0.43488355 0.91365828 -24.916992 52.348763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91389250-0.91365828) × R
    0.000234219999999952 × 6371000     		dl = 1492.21561999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91389250-0.91365828) × R
    0.000234219999999952 × 6371000     		dr = 1492.21561999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43526705--0.43488355) × cos(0.91389250) × R
    0.000383499999999981 × 0.610667964346794 × 6371000     		do = 1492.03190792721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43526705--0.43488355) × cos(0.91365828) × R
    0.000383499999999981 × 0.610853423311212 × 6371000     		du = 1492.48503582761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91389250)-sin(0.91365828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610667964346794-0.610853423311212)×R²
    abs(-0.43488355--0.43526705)×0.000185458964417573×R²
    0.000383499999999981×0.000185458964417573×6371000²
    0.000383499999999981×0.000185458964417573×40589641000000     		ar = 2226771.4109927m²