Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7057 / 10884
↖ ↑ ↗
← S 50.792047°
W 24.938965°		 ← 1 544.49 m → S 50.792047°
W 24.916992°		 →
↑
1 544.20 m
↓
↑
1 544.20 m
↓
S 50.805935°
W 24.938965°		 ← 1 544.03 m →
2 384 646 m²		 S 50.805935°
W 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430755615234375 y=0.664337158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430755615234375 × 214)
    floor (0.430755615234375 × 16384)
    floor (7057.5)     		tx = 7057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664337158203125 × 214)
    floor (0.664337158203125 × 16384)
    floor (10884.5)     		ty = 10884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7057 / 10884 ti = "14/7057/10884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7057/10884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7057 ÷ 214
    7057 ÷ 16384     		x = 0.43072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10884 ÷ 214
    10884 ÷ 16384     		y = 0.664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.1385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43526705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.32861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03236907021753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43526705} λ = -0.43526705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03236907021753))-π/2
    2×atan(0.356162187070388)-π/2
    2×0.342153935855865-π/2
    0.684307871711729-1.57079632675     		φ = -0.88648846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43526705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.938965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88648846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.792047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7057 KachelY 10884 -0.43526705 -0.88648846 -24.938965 -50.792047
    Oben rechts KachelX + 1 7058 KachelY 10884 -0.43488355 -0.88648846 -24.916992 -50.792047
    Unten links KachelX 7057 KachelY + 1 10885 -0.43526705 -0.88673084 -24.938965 -50.805935
    Unten rechts KachelX + 1 7058 KachelY + 1 10885 -0.43488355 -0.88673084 -24.916992 -50.805935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88648846--0.88673084) × R
    0.000242379999999986 × 6371000     		dl = 1544.20297999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88648846--0.88673084) × R
    0.000242379999999986 × 6371000     		dr = 1544.20297999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43526705--0.43488355) × cos(-0.88648846) × R
    0.000383499999999981 × 0.632136858881542 × 6371000     		do = 1544.48639636273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43526705--0.43488355) × cos(-0.88673084) × R
    0.000383499999999981 × 0.631949030534559 × 6371000     		du = 1544.02747940086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88648846)-sin(-0.88673084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632136858881542-0.631949030534559)×R²
    abs(-0.43488355--0.43526705)×0.000187828346983054×R²
    0.000383499999999981×0.000187828346983054×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187828346983054×40589641000000     		ar = 2384646.17703706m²