Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70569 / 95639
↖ ↑ ↗
← S 63.419802°
E 13.823548°		 ← 136.63 m → S 63.419802°
E 13.826294°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
S 63.421031°
E 13.823548°		 ← 136.63 m →
18 672 m²		 S 63.421031°
E 13.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538402557373047 y=0.729671478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538402557373047 × 217)
    floor (0.538402557373047 × 131072)
    floor (70569.5)     		tx = 70569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729671478271484 × 217)
    floor (0.729671478271484 × 131072)
    floor (95639.5)     		ty = 95639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70569 / 95639 ti = "17/70569/95639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70569/95639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70569 ÷ 217
    70569 ÷ 131072     		x = 0.538398742675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95639 ÷ 217
    95639 ÷ 131072     		y = 0.729667663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538398742675781 × 2 - 1) × π
    0.0767974853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24126642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729667663574219 × 2 - 1) × π
    -0.459335327148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.44304448926255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24126642} λ = 0.24126642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44304448926255))-π/2
    2×atan(0.236207531582959)-π/2
    2×0.231955987899704-π/2
    0.463911975799408-1.57079632675     		φ = -1.10688435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24126642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.823548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10688435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.419802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70569 KachelY 95639 0.24126642 -1.10688435 13.823548 -63.419802
    Oben rechts KachelX + 1 70570 KachelY 95639 0.24131435 -1.10688435 13.826294 -63.419802
    Unten links KachelX 70569 KachelY + 1 95640 0.24126642 -1.10690580 13.823548 -63.421031
    Unten rechts KachelX + 1 70570 KachelY + 1 95640 0.24131435 -1.10690580 13.826294 -63.421031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10688435--1.10690580) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10688435--1.10690580) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24126642-0.24131435) × cos(-1.10688435) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.44745003761271 × 6371000     		do = 136.634251808998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24126642-0.24131435) × cos(-1.10690580) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.447430854583208 × 6371000     		du = 136.628394040168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10688435)-sin(-1.10690580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44745003761271-0.447430854583208)×R²
    abs(0.24131435-0.24126642)×1.91830295021567e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91830295021567e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91830295021567e-05×40589641000000     		ar = 18671.7564975232m²