Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70569 / 95271
↖ ↑ ↗
← S 62.963963°
E 13.823548°		 ← 138.80 m → S 62.963963°
E 13.826294°		 →
↑
138.82 m
↓
↑
138.82 m
↓
S 62.965212°
E 13.823548°		 ← 138.80 m →
19 269 m²		 S 62.965212°
E 13.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538402557373047 y=0.726863861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538402557373047 × 217)
    floor (0.538402557373047 × 131072)
    floor (70569.5)     		tx = 70569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726863861083984 × 217)
    floor (0.726863861083984 × 131072)
    floor (95271.5)     		ty = 95271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70569 / 95271 ti = "17/70569/95271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70569/95271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70569 ÷ 217
    70569 ÷ 131072     		x = 0.538398742675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95271 ÷ 217
    95271 ÷ 131072     		y = 0.726860046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538398742675781 × 2 - 1) × π
    0.0767974853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24126642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726860046386719 × 2 - 1) × π
    -0.453720092773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.42540371020237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24126642} λ = 0.24126642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42540371020237))-π/2
    2×atan(0.240411387084618)-π/2
    2×0.2359339261276-π/2
    0.471867852255201-1.57079632675     		φ = -1.09892847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24126642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.823548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09892847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.963963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70569 KachelY 95271 0.24126642 -1.09892847 13.823548 -62.963963
    Oben rechts KachelX + 1 70570 KachelY 95271 0.24131435 -1.09892847 13.826294 -62.963963
    Unten links KachelX 70569 KachelY + 1 95272 0.24126642 -1.09895026 13.823548 -62.965212
    Unten rechts KachelX + 1 70570 KachelY + 1 95272 0.24131435 -1.09895026 13.826294 -62.965212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09892847--1.09895026) × R
    2.17900000001325e-05 × 6371000     		dl = 138.824090000844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09892847--1.09895026) × R
    2.17900000001325e-05 × 6371000     		dr = 138.824090000844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24126642-0.24131435) × cos(-1.09892847) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454550816261173 × 6371000     		do = 138.802559991673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24126642-0.24131435) × cos(-1.09895026) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454531407346886 × 6371000     		du = 138.796633246207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09892847)-sin(-1.09895026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454550816261173-0.454531407346886)×R²
    abs(0.24131435-0.24126642)×1.94089142872556e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.94089142872556e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.94089142872556e-05×40589641000000     		ar = 19268.7276939729m²