Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70567 / 95321
↖ ↑ ↗
← S 63.026320°
E 13.818054°		 ← 138.54 m → S 63.026320°
E 13.820801°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
S 63.027566°
E 13.818054°		 ← 138.53 m →
19 188 m²		 S 63.027566°
E 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538387298583984 y=0.727245330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538387298583984 × 217)
    floor (0.538387298583984 × 131072)
    floor (70567.5)     		tx = 70567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727245330810547 × 217)
    floor (0.727245330810547 × 131072)
    floor (95321.5)     		ty = 95321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70567 / 95321 ti = "17/70567/95321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70567/95321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70567 ÷ 217
    70567 ÷ 131072     		x = 0.538383483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95321 ÷ 217
    95321 ÷ 131072     		y = 0.727241516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538383483886719 × 2 - 1) × π
    0.0767669677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24117054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727241516113281 × 2 - 1) × π
    -0.454483032226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.42780055518337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24117054} λ = 0.24117054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42780055518337))-π/2
    2×atan(0.239835848272298)-π/2
    2×0.23538976339731-π/2
    0.47077952679462-1.57079632675     		φ = -1.10001680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24117054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.818054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10001680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.026320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70567 KachelY 95321 0.24117054 -1.10001680 13.818054 -63.026320
    Oben rechts KachelX + 1 70568 KachelY 95321 0.24121848 -1.10001680 13.820801 -63.026320
    Unten links KachelX 70567 KachelY + 1 95322 0.24117054 -1.10003854 13.818054 -63.027566
    Unten rechts KachelX + 1 70568 KachelY + 1 95322 0.24121848 -1.10003854 13.820801 -63.027566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10001680--1.10003854) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10001680--1.10003854) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24117054-0.24121848) × cos(-1.10001680) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453581149077918 × 6371000     		do = 138.535358107243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24117054-0.24121848) × cos(-1.10003854) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453561773957059 × 6371000     		du = 138.529440446617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10001680)-sin(-1.10003854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453581149077918-0.453561773957059)×R²
    abs(0.24121848-0.24117054)×1.93751208587556e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93751208587556e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93751208587556e-05×40589641000000     		ar = 19187.5047701015m²