Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70565 / 95331
↖ ↑ ↗
← S 63.038776°
E 13.812561°		 ← 138.48 m → S 63.038776°
E 13.815308°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
S 63.040021°
E 13.812561°		 ← 138.47 m →
19 170 m²		 S 63.040021°
E 13.815308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538372039794922 y=0.727321624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538372039794922 × 217)
    floor (0.538372039794922 × 131072)
    floor (70565.5)     		tx = 70565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727321624755859 × 217)
    floor (0.727321624755859 × 131072)
    floor (95331.5)     		ty = 95331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70565 / 95331 ti = "17/70565/95331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70565/95331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70565 ÷ 217
    70565 ÷ 131072     		x = 0.538368225097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95331 ÷ 217
    95331 ÷ 131072     		y = 0.727317810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538368225097656 × 2 - 1) × π
    0.0767364501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24107467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727317810058594 × 2 - 1) × π
    -0.454635620117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.42827992417957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24107467} λ = 0.24107467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42827992417957))-π/2
    2×atan(0.239720905954551)-π/2
    2×0.235281070247744-π/2
    0.470562140495488-1.57079632675     		φ = -1.10023419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24107467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.812561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10023419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.038776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70565 KachelY 95331 0.24107467 -1.10023419 13.812561 -63.038776
    Oben rechts KachelX + 1 70566 KachelY 95331 0.24112261 -1.10023419 13.815308 -63.038776
    Unten links KachelX 70565 KachelY + 1 95332 0.24107467 -1.10025592 13.812561 -63.040021
    Unten rechts KachelX + 1 70566 KachelY + 1 95332 0.24112261 -1.10025592 13.815308 -63.040021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10023419--1.10025592) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10023419--1.10025592) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24107467-0.24112261) × cos(-1.10023419) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453387397137103 × 6371000     		do = 138.476181277263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24107467-0.24112261) × cos(-1.10025592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453368028786331 × 6371000     		du = 138.470265684396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10023419)-sin(-1.10025592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453387397137103-0.453368028786331)×R²
    abs(0.24112261-0.24107467)×1.93683507720976e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93683507720976e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93683507720976e-05×40589641000000     		ar = 19170.4864652971m²